Hermitoitu matriisi

Hermitoitu matriisi (myös konjugaattitranspoosi, adjungoitu matriisi tai adjungaatti, engl. adjoint) on annetun matriisin kompleksikonjugaatin transpoosi. Toisin sanoen, jos matriisi $A=(a_{ij})$ kuuluu renkaaseen ${ℳ}_n(ℂ)$ ja $\overline{z}$ on kompleksiluvun $z$ kompleksikonjugaatti, niin $A$:n hermitoitu matriisi on

$A^{*}=({\overline{a}}_{ji})$.

Etenkin kvanttimekaniikassa on tavallista merkitä hermitoitua matriisia "tikarilla" (dagger): $A^{†}$. Hermitointi voidaan myös periaatteessa kirjoittaa "auki" kompleksikonjugointina ja transponointina: ${\overline{A}}^T$. Näin toimitaan kuitenkin harvoin, sillä hermitoiduille matriiseille on niiden yleisyyden takia käytännöllistä käyttää omaa merkintää.

Itseadjungoitu matriisi

Malline:Pääartikkeli Hermitoitujen matriisien tärkeän erikoistapauksen muodostavat hermiittiset eli itseadjungoidut matriisit (engl. self adjoint). Ne ovat neliömatriiseja, joille

$A^{*}=A$.

Jos $A$ on reaalinen (eli kaikki sen alkiot ovat reaalilukuja), itseadjungoituvuus on sama kuin matriisin symmetrisyys. Itseadjungoidulla matriisilla on sovellusten kannalta tärkeitä ominaisuuksia:

• Olkoon $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ sisätulo. Matriisi $A$ on itseadjungoitu jos ja vain jos $⟨A𝐱,𝐲⟩=⟨𝐱,A𝐲⟩$.
• Itseadjungoidun matriisin kaikki ominaisarvot ovat reaalisia.
• Itseadjungoitu matriisi on unitaarisesti diagonalisoituva.
• Itseadjungoidun matriisin ominaisvektoreista voidaan valita ${ℂ}^n$:n ortonormaali kanta.

Kirjallisuutta

• Malline:Kirjaviite
• Malline:Verkkoviite