Fermat’n monikulmiolause

Malline:LähteetönFermat'n monikulmiolauseen mukaan jokainen positiivinen kokonaisluku on $n$:n $n$-kulmioluvun summa.

Esimerkkinä kolmioluvuista on 17 = 10 + 6 + 1.

Tunnettu erikoistapaus lauseesta on Lagrangen neljän neliön lause, jonka mukaan jokainen positiivinen kokonaisluku voidaan esittää neljän neliön summana. Esimerkiksi $7=2^2+1^2+1^2+1^2$.

Joseph-Louis Lagrange todisti neliötapauksen vuonna 1770, ja Gauss todisti kolmiolukuja koskevan tapauksen vuonna 1796. Lauseen todisti kokonaisuudessaan vasta Augustin Louis Cauchy vuonna 1813. Lauseen todistus perustuu seuraavaan Cauchyn keksimään tulokseen:

Jos $a$ ja $b$ ovat parittomia positiivisia lukuja, joille $b^2<4a$ ja $3a<b^2+2b+4$, voidaan löytää epänegatiiviset kokonaisluvut $s,t,u$ ja $v$ siten, että $a=s^2+t^2+u^2+v^2$ ja $b=s+t+u+v.$

Aiheesta muualla

• Eric W. Weisstein. "Fermat's Polygonal Number Theorem." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/FermatsPolygonalNumberTheorem.html
• Nathanson, M. B. "A Short Proof of Cauchy's Polygonal Number Theorem." Proc. Amer. Math. Soc. 9, 22–24, 1987.