Imaginaariyksikkö

Matematiikassa imaginaariyksikkö mahdollistaa reaalilukujen laajentamisen kompleksilukujen joukkoon. Sen täsmällinen määritelmä riippuu tavasta, jolla laajennus tehdään. Imaginaariyksikköä merkitään $i=\sqrt{-1}$, missä siis $i^2=-1$. Toisinaan imaginaariyksiköstä käytetään merkintää j ja ι.

Perussyy tähän laajennukseen on, että kaikilla polynomiyhtälöillä ei ole ratkaisua reaalilukujen joukossa. Erityisesti yhtälö $x^2+1=0$ on tällainen. Ajattelemalla, että kyseisellä yhtälöllä olisikin ratkaisuna imaginaariyksikkö i ja määrittelemällä i:n laskutoimitukset sopivasti, saadaankin jokaiselle reaalikertoimiselle polynomiyhtälölle f(x)=0 ratkaisu. (Katso algebrallinen sulkeuma ja algebran peruslause).

Imaginaariyksikkö on myös osa Eulerin lausetta funktioteoriassa.

Määritelmä

Määritelmän mukaan i on eräs toisen asteen yhtälön

$x^2+1=0$

ratkaisuista, jotka ovat

$x=\pm \sqrt{-1}=\pm i$.

Reaalilukujen laskusäännöt voidaan laajentaa imaginaarisille ja kompleksisille luvuille ajattelemalla lukua i muuttujana, kertomalla lukuja kuten polynomeja ja ottamalla huomioon, että i²=−1. Korkeammista eksponenteista imaginaariyksikön eksponentti voidaan palauttaa välille 0,...,3 kaavan iⁿ=-i^n-2 avulla.

Imaginaariyksikön käänteisluku on sama kuin sen vastaluku, koska

$\frac{1}{i}=\frac{1}{i}\cdot \frac{i}{i}=\frac{i}{i^2}=\frac{i}{-1}=-i$.

Kirjallisuutta

• Malline:Kirjaviite
• Malline:Kirjaviite
• Malline:Verkkoviite
• Malline:Kirjaviite