Osamäärätesti

Osamäärätesti tai suhdetesti on tapa tutkia reaali- tai kompleksitermisten sarjojen $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ suppenemista. Testin julkaisi Jean le Rond d'Alembert ja se tunnetaankin joskus nimellä d'Alembertin osamäärätesti. Testiä varten lasketaan sarjan kahden peräkkäisen termin itseisarvon raja-arvo indeksin n lähestyessä ääretöntä ja merkitään saatua raja-arvoa kirjaimella L. Matemaattisesti ilmaistuna

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L.$

Saatua raja-arvoa tulkitaan seuraavasti:

• jos $L<1$, niin sarja suppenee.
• jos $L>1$, niin sarja hajaantuu.
• jos $L=1$, niin sarjan suppenemisesta ei voida sanoa mitään osamäärätestin perusteella.

Esimerkkejä

Suppeneva

Tutkitaan sarjan

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n}{e^n}$

suppenemista. Lasketaan sarjan kahden peräkkäisen termin itseisarvon raja-arvo

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{\frac{n+1}{e^{n+1}}}{\frac{n}{e^n}}\right|=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }|\frac{n+1}{e^{n+1}}\cdot \frac{e^n}{n}|=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }|\frac{n+1}{n}\cdot \frac{e^n}{e^n\cdot e}|=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }|(1+\frac{1}{n})\cdot \frac{1}{e}|=1\cdot \frac{1}{e}=\frac{1}{e}<1.$

Koska raja-arvo $L=\frac{1}{e}$ on pienempi kuin 1, niin sarja suppenee.

Hajaantuva

Tutkitaan sarjan

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^n}{n}$

suppenemista. Osamäärätestin mukaisesti lasketaan

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{\frac{e^{n+1}}{n+1}}{\frac{e^n}{n}}\right|=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }|\frac{e^{n+1}}{n+1}\cdot \frac{n}{e^n}|=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }|\frac{n}{n+1}\cdot \frac{e^n\cdot e}{e^n}|=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }|(1-\frac{1}{n+1})\cdot e|=1\cdot e=e>1.$

Koska $L=e\approx 2,718\dots$ on suurempi kuin 1, niin sarja hajaantuu.

Testi ei kerro suppenemisesta

Jos sarjan raja-arvo L on tasan 1 eli

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1,$

niin osamäärätestillä ei voida selvittää sen suppenemista.

Esimerkiksi sarja

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}1$

hajaantuu, mutta

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{1}{1}\right|=1.$

Sarja

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$

puolestaan suppenee itseisesti, mutta

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{\frac{1}{(n+1{)}^2}}{\frac{1}{n^2}}\right|=1.$

Sarja

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{1}{n}$

suppenee ehdollisesti, mutta

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{\frac{(-1{)}^{n+1}}{(n+1)}}{\frac{(-1{)}^n}{n}}\right|=1.$

Katso myös

• Vertailuperiaate
• Juuritesti
• Integraalitesti

Kirjallisuutta

• Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3, 5.4) Malline:ISBN
• Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.36, 2.37) Malline:ISBN