Youngin epäyhtälö

Matematiikassa Youngin epäyhtälön mukaan positiivisille reaaliluvuille a, b, p ja q, joille 1/p + 1/q = 1, on voimassa

$ab\le \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}.$

Yhtäsuuruus on voimassa kun $a^p=b^q$.

Youngin epäyhtälö on erikoistapaus painotetusta aritmeettis-geometrisesta epäyhtälöstä.

Käyttö

Youngin epäyhtälöä käytetään todistamaan Hölderin epäyhtälö.

Todistus

Tiedetään, että $f(x)=e^x$ on konveksi, sillä sen toinen derivaatta on kaikkialla positiivinen. Siten

$ab=e^{\ln (a)}{e}^{\ln (b)}=e^{\frac{1}{p}\ln (a^p)+\frac{1}{q}\ln (b^q)}\le \frac{1}{p}{e}^{\ln (a^p)}+\frac{1}{q}{e}^{\ln (b^q)}=\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$.

Tässä on käytetty konveksin funktion määritelmää:

$f(tx+(1-t)y)\le tf(x)+(1-t)f(y)$ kaikilla 0≤t≤1.

Aiheesta muualla

http://math.stackexchange.com/questions/259826/purely-algebraic-proof-of-youngs-inequality Erilaisia todistuksia Youngin epäyhtälölle Malline:En