Lähdekoodi sivulle Tangentiaalinen nelikulmio

[[Tiedosto:Circumscriptible quadrilateral.svg|pienoiskuva|Tangentiaalisen nelikulmion sivuamispisteet ovat tangentteja ja ne ovat kohtisuorassa säteitä eli korkeusjanoja vastaan.]]
[[Tiedosto:Circumscriptible quadrilateral2.svg|pienoiskuva|Tangentiaalisen nelikulmion tangenttien välissä kulmanpuolittaja osuu ympyrän keskipisteeseen.]]
'''Tangentiaalinen nelikulmio''' eli '''ympyrän ympäri piirretty nelikulmio''' on [[geometria]]ssa [[nelikulmio]], jonka jokainen sivu sivuaa sisään piirrettyä ympyrää. Ympyrää voidaan kutsua nelikulmion [[monikulmion sisäympyrä|sisäympyräksi]] ja sivuja ympyrän [[tangentti (geometria)|tangenteiksi]] tai [[tangenttijana|tangenttijanoiksi]].<ref name=TangentialQuadrilateral/><ref name=hajja/>

Nimitys tangentiaalinen nelikulmio on suora käännös sanoista {{k-en|tangential quadrilateral}}.<ref name=TangentialQuadrilateral/>

== Ominaisuuksia ==
* Jos merkitään [[puolipiiri]]ä eli nelikulmion [[Piiri (geometria)|piirin]] puolikasta <math>s=\tfrac{1}{2} (a+b+c+d),</math> missä neljä lukua ovat sivujen pituuksia, voidaan tangentiaaliselle nelikulmiolle kirjoittaa <math>s=a+c=b+d,</math> eli vastakkaisten sivujen yhteispituus on puolet piiristä.<ref name=TangentialQuadrilateral/><ref name=hajja/> Tämä pätee laajemminkin. Suora, joka kulkee sisäympyrän keskipisteen kautta jakaa piirin, ja myös pinta-alan, kahteen yhtäsuureen osaan.<ref name=titu64/>
* Sisäympyrän keskipiste sijaitsee yhtä kaukana nelikulmion sivuista. [[Kulmanpuolittaja]]t leikkaavat kaikki toisensa sisäympyrän keskipisteessä.<ref name=titu64/>
* Viereisten kulmien puolikkaiden tangenttien tulo on aina 1, joten esimerkiksi <math>\tan {\frac{\alpha}{2}} \cdot \tan{\frac{\gamma}{2}}=1</math> ja <math>\tan {\frac{\beta}{2}} \cdot \tan{\frac{\delta}{2}}=1.</math> <ref name=hajja/>
* [[lävistäjä (geometria)|Lävistäjien]] eri puolille syntyviin kolmioihin piirretyt sisäympyrät ovat tangentiaalisia myös toisilleen.<ref name=titu64/>
* Tällaisen nelikulmion pinta-ala on <math>A=rs,</math> <ref name=TangentialQuadrilateral/> missä <math>r</math> on sisäympyrän [[Säde (geometria)|säde]].
* Sisäympyrän säde voidaan johtaa alan, piirinpuolikkaan ja [[Bretschneiderin lause]]en avulla
:<math>r= \frac{\sqrt{4 p^2 q^2 -(a^2-b^2+c^2-d^2)^2}}{2(a+b+c+d)} = \frac{\sqrt{p^2 q^2 -(a-b)^2 (a+b-s)^2}}{2s}</math> <ref name=TangentialQuadrilateral/>
::<math>= \sqrt{\frac{b c d + a c d + a b d + a b c}{a+b+c+d}}</math> <ref name=hajja/>
missä p ja q ovat nelikulmion lävistäjiä.

== Erikoistapauksia ==
=== Neliö ===
[[Tiedosto:Square incircle excircle 02.svg|pienoiskuva|Neliö ja sen ympyrät, erilaisia mittoja ja kulmia]]
[[Neliö (geometria)|Neliö]] on [[säännöllinen monikulmio|säännöllinen]] nelikulmio, joten sen sivut ovat saman pituiset ja sen kulmat ovat yhtä suuret ([[suora kulma|suorat kulmat]] 90°). Ympyrä sivuaa neliön kulmaa sivun keskikohdasta ja siksi myös sisäympyrän säde '''r''' on puolet sivun pituudesta. Tätä etäisyyttä kutsutaan myös '''apoteemaksi''' kuten muissakin säännöllisissä monikulmioissa. Sisäympyrän keskipisteestä piirretyt säteet puolittavat neliön kulman. Neliön lävistäjä on samalla neliöä ympäröivän ympyrän halkaisija, jolloin ulkoympyrän säde '''R''' on puolet lävistäjästä. Kun sivun pituus on '''a''', saadaan
:<math>r = \frac{1}{2}a</math> <ref name=maolk/> sekä <math>R = \frac{\sqrt{2}}{2}a .</math>

=== Neljäkäs ===
[[Tiedosto:Rombus incircle 01.svg|pienoiskuva|400px|Tangentiaalinen neljäkäs, mittoja ja kulmia]]
[[Neljäkäs]] on [[tasasivuinen monikulmio|tasasivuinen]] nelikulmainen [[suunnikas]], jonka kulmat eivät ole neliön tapaan suorat. Vastakkaiset kulmat ovat aina samansuuruiset ja vierekkäiset kulmat α ja β ovat toistensa [[komplementtikulma]]t eli <math>\beta = 90^\circ - \alpha</math>. Laskuissa tullaan käyttämään näiden kulmien puolikkaita, joten <math>\alpha = 2\gamma</math> eli <math>\gamma = \tfrac{1}{2}\alpha</math>.

Jos päätetään aluksi kulma <math>\gamma = \tfrac{1}{2}\alpha</math>, voidaan muut parametrit löaske seuraavasti. Neljäkkään sisäympyrä sivuaa sen kaikkia sivuja samalla tavalla niin, että sivuamispisteet osittavat ne kahdeksi eripituiseksi tangenttijanaksi. Sivun AB tangenttijanat ovat AJ = t<sub>A</sub> ja JB = t<sub>B</sub>, jotka yhdessä muodostavat neljäkkään sivun
:<math>a = t_A + t_B</math>.<ref name=Radic198_1/>
Tangenttijanojen pituudet saadaan laskettua suorakulmaisista kolmioista
:<math>t_A = r \cot \gamma</math> (kolmiosta <math>\Delta AJO</math>) <ref name=Radic198_3/>
ja 
:<math>t_B = r \tan \gamma</math> (kolmiosta <math>\Delta OJB</math>).<ref name=Radic198_3/> 
Tangenttijanojen pituudet voidaan määrittä, kun säde tunnetaan. Se saadaan sivun pituudesta
:<math>a = t_A + t_B = r \cot \gamma + r \tan \gamma = r (\cot \gamma + \tan \gamma)</math> eli 
:<math>r = \frac{a}{\cot \gamma + \tan \gamma}</math>.

Toisaalta, jos päätetään aluksi tangenttijanojen pituudet, voidaan niiden avulla laskea muut parametrit. Neljäkkään '''sisäympyrän generoivan polynomin''' kertoimet ovat <ref name=Radic200/>
::<math>S_1^4 = t_A + t_B + t_C + t_D = 2t_A + 2t_B = 2(t_A + t_B)</math>,
koska t<sub>A</sub> = t<sub>C</sub> ja t<sub>B</sub> = t<sub>D</sub>, ja vielä
::<math>S_3^4 = t_At_Bt_C + t_Bt_Ct_D + t_Ct_Dt_A + t_Dt_At_B = 2(t_A^2t_B +t_At_B^2) = 2t_At_B(t_A + t_B)</math>.
[[Tiedosto:Rombus tangential animation 01.gif|pienoiskuva|300px|Neljäkkään sisäympyrän säde riippuu sisäkulman suuruudesta. Suurimmillaan se on kun sisäkulma on suora.]]
Polynomi saa muodon
:<math>S_1^4 r^2 - S_3^4 = 0</math> <ref name=Radic201/> eli
:<math>2(t_A + t_B) r^2 - 2t_At_B(t_A + t_B) =0</math>
jonka positiivinen juuri on
:<math>r = \sqrt{\frac{2t_At_B \cancel{(t_A + t_B)}}{2 \cancel{(t_A + t_B)}}} = \sqrt{t_At_B}</math>.
Viimeisestä lausekkeesta voidaan laskea myös neliön sisäympyrän säde, kun <math>t_A = t_B = \tfrac{1}{2}a</math>.

== Katso myös ==
* [[Syklinen nelikulmio]], jossa ympyrä on piirretty nelikulmion ulkopuolelle.
* [[Bisentrinen nelikulmio]], joka on samalla syklinen- ja tangentiaalinen nelikulmio.
* [[Säännöllinen monikulmio]], jossa ympyrät ovat merkittävässä roolissa.

== Lähteet ==
* {{Lehtiviite| Tekijä = Radić, Mirko | Otsikko = Some relations and properties concerning tangential polygons | Julkaisu = Mathematical Communications | Ajankohta = 1999 | Vuosikerta = | Numero = 4| Sivut = 197–206 | Julkaisupaikka = Osijek, Kroatia | Julkaisija = University of Osijek| Issn = 1331-0623 | www = http://hrcak.srce.hr/file/1649| www-teksti = | Tiedostomuoto = pdf | Viitattu = 5.10.2013 | Kieli = {{en}}}}

=== Viitteet ===
{{viitteet|viitteet=
* <ref name=Radic198_1>Radić, Mirko: Some relations and properties..., s. 198, alku</ref>
* <ref name=Radic198_3>Radić, Mirko: Some relations and properties..., s. 198, kaava (3)</ref>
* <ref name=Radic200>Radić, Mirko: Some relations and properties..., s. 200</ref>
* <ref name=Radic201>Radić, Mirko: Some relations and properties..., s. 201, todistus</ref>
* <ref name=maolk>{{Kirjaviite | Tekijä =Seppänen, Raimo et al. | Nimeke =MAOL | Vuosi =2005 |Selite =(lukion taulukkokirja, keltainen) | Sivu=31| Julkaisupaikka =Helsinki | Julkaisija =Otava | Isbn = 978-951-1-20607-1 | Viitattu =5.4.2013  }}</ref>
* <ref name=hajja>{{Lehtiviite | Tekijä = Hajja, Mowaffaq | Otsikko = A Condition for a Circumscriptible Quadrilateral to be Cyclic | Julkaisu = Forum Geometricorum | Ajankohta = 2008 | Vuosikerta =  | Numero = 8 | Sivut = 103–106 | Julkaisupaikka =  | Julkaisija =  | Issn = 1534-1178 | www = http://forumgeom.fau.edu/FG2008volume8/FG200814.pdf | Tiedostomuoto = pdf | Viitattu = 23.9.2013 | Kieli = {{en}} }} {{Wayback|1=http://forumgeom.fau.edu/FG2008volume8/FG200814.pdf |päiväys=20191126135341 }}</ref>
* <ref name=titu64>{{Kirjaviite | Tekijä =Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan | Nimeke = Mathematical Olympiad Treasures | Vuosi =2004| Selite= kappale 2.7 ''Quadrilaterals with an inscribed circle'' |Sivut=64–68 | Julkaisupaikka = | Julkaisija = Springer | www = http://books.google.fi/books?id=mwUHJpvLOPsC&lpg=PA44&hl=fi&pg=PA64#v=onepage&q&f=false | isbn=978-0-8176-4305-8| Tiedostomuoto =Google-book  | Viitattu = 23.9.2013  }}</ref>
* <ref name=TangentialQuadrilateral>{{Verkkoviite | Osoite =http://mathworld.wolfram.com/TangentialQuadrilateral.html | Nimeke = Tangential Quadrilateral | Tekijä =Weisstein, Eric W. | Selite =Math World – A Wolfram Web Resource |  Julkaisija =Wolfram Research | Kieli ={{en}}}}</ref>
}}

[[Luokka:Monikulmiot]]