Lähdekoodi sivulle Ryhmänopeus

[[Tiedosto:Wave group.gif|frame|[[Dispersio]] syvän veden pinnalla etenevissä [[painovoima-aalto|painovoima-aalloissa]]. Kuvan punaiset neliöt ({{colorbox|#dd4200}}) etenevät [[vaihenopeus|vaihenopeudella]], vihreät kiekot (<span style="border-radius: 25px; background-color:#77ac30; border:1px solid;">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;</span>) ryhmänopeudella. Tässä syvän veden tapauksessa vaihenopeus on kaksi kertaa niin suuri kuin ryhmänopeus. Jokainen punainen neliö kohtaa kaksi vihreää kiekkoa kulkiessaan kuvan vasemmasta laidasta oikeaan.<br>
Aaltoryhmän takana näyttää muodostuvan uusia aaltoja, joiden amplitudi kasvaa, kunnes ne ovat kuvan keskellä, minkä jälkeen ne häviävät ennen saapumistaan kuvan oikeaan laitaan.<br>
Veden pinnalla etenevissä painovoima-aalloissa vesipisaroiden nopeudet nopeudet ovat useimmiten paljon pienempiä kuin aallon vaihenopeus.]]

[[Tiedosto:Wave packet propagation (phase faster than group, nondispersive).gif|thumb|Etenevä aaltopaketti, jossa vaihenopeus on suurempi kuin ryhmänopeus.]]

[[Tiedosto:Wave opposite-group-phase-velocity.gif|thumb|right|Aalto, jonka vaihenopeus on ryhmänopeuteen nähden vastakkaissuuntainen. Aaltoryhmä etenee oikealle, mutta yksittäiset aallonhuiput vasemmalle, joten ryhmänopeus on positiivinen, mutta vaihenopeus negatiivinen.<ref name=nemirovsky2012negative>{{lehtiviite | Tekijä = Jonathan Nemirovsky, Mikael C. Rechtsman, Mordevhai Segev | Otsikko = Negative radiation pressure and negative effective refractive index via dielectric birefringence | Julkaisu = Optics Express | Ajankohta = 9.4.2012 | Vuosikerta = 20 | Numero = 8 | Sivut = 8907–8914|Doi=10.1364/OE.20.008907 | www = https://web.archive.org/web/20131016235315/http://physics.technion.ac.il/~msegev/publications/NRP_Opt_Exp.pdf | bibcode=2012OExpr..20.8907N|pmid=22513601}}</ref>]]

'''Ryhmänopeus''' on [[aaltoliike|aaltoliikkeessä]] se [[nopeus]], jolla aallon vaihtelevien [[amplitudi]]en muodostama [[aaltopaketti]] etenee avaruudessa. Amplitudin vaihtelua sanotaan myös [[Modulaatio (elektroniikka)|modulaatioksi]] tai verhokäyräksi.

Esimerkiksi jos kivi heitetään keskelle hyvin tyyntä lammikkoa, sen ympärille muodostuu ympyränmuotoisia aaltoja, joista syntyvää muodostelmaa sanotaan myös [[kapillaariaalto|kapillaariaalloksi]]. Tämä laajeneva aaltojen muodostama rengas on '''aaltoryhmä''', mutta voidaan havaita erillisiä osa-aaltoja, joilla on eri [[aallonpituus]] ja jotka etenevät eri nopeuksilla. Lyhyemmät aallot etenevät nopeammin kuin aaltoryhmä kokonaisuudessaan, mutta niiden amplitudit vaimenevat ennen kuin ne saapuvat aaltoryhmän reunalle. Pidemmät aallot etenevät hitaammin, ja niiden amplitudit vaimenevat sitä mukaa kuin ne jäävät yhä enemmän jälkeen aaltoryhmän ulkolaidasta.

== Määritelmä ja tulkinta ==

=== Määritelmä ===
[[Tiedosto:Wave packet.svg|thumb|{{legend-line|dodgerblue solid|[[Aaltopaketti]]}}
{{legend-line|red dashed|Aaltopaketin verhokäyrä. Verhokäyrä etenee ryhmänopeudella.}}]]
Ryhmänopeus ''v''<sub>g</sub>'' määritellään yhtälöllä:<ref name=KurkiSuonio39>{{kirjaviite | Tekijä = Kaarle ja Riitta Kurki-Suonio | Nimeke = Aaltoliikkeestä dualismiin | Sivu = 39–41 | Luku = Energian eteneminen | Julkaisija = Limes | Vuosi = 2005 | Tunniste = | Isbn = 951-745-210-1}}</ref>

:<math>v_g \ \equiv\  \frac{\partial \omega}{\partial k}\,</math>

missä &omega; on aallon [[kulmataajuus]] (joka yleensä ilmoitetaan [[radiaani sekunnissa|radiaaneina sekunnissa]] ja ''k'' sen [[aaltoluku]] (joka yleensä ilmoitetaan radiaaneina metriä kohti).  Aallon [[vaihenopeus]] taas on

:<math>v_p \ \equiv\   \frac{\omega}{k}</math>. 

[[Funktio]]ta ''&omega;''(''k''), joka ilmoittaa kulmataajuuden ''&omega;'' aaltoluvun ''k'' funktiona, sanotaan [[dispersiorelaatio]]ksi.

* Jos aaltoliikkeen kulmataajuus on [[verrannollisuus|suoraan verrannollinen]] aaltolukuun, aallon ryhmänopeus on yhtä suuri kuin sen vaihenopeus. Olipa tällainen aalto minkä muotoinen tahansa, se etenee sen muodon muuttumatta.
* Jos kulmataajuus ''&omega;'' on aaltoluvun ''k'' lineaarinen funktio, mutta nämä eivät ole suoraan verrannollisia vaan niiden riippuvuus on muotoa <math>\omega = ak + b</math>, aallon ryhmänopeus ja vaihenopeus poikkeavat toisistaan. Aaltopaketin verhokäyrä etenee ryhmänopeudella, mutta sen sisällä olevat yksittäiset aallonhuiput ja -pohjat vaihenopeudella.
* Jos aallon kulmataajuus ei ole sen aaltoluvun lineaarinen funktio, aaltopaketin verhokäyrä muuttaa muotoaan aallon edetessä. Koska aaltopaketti sisältää osa-aaltoja, joilla on eri taajuus ja sen mukaisesti myös eri suuri aaltoluku ''k'', ryhmänopeus <math>\frac{\partial \omega}{\partial k}\,</math> on eri suuri ''k'':n eri arvoilla. Siksi verhokäyrä ei etene kauttaaltaan samalla nopeudella, vaan sen aaltolukukomponentit ''k'' etenevät eri nopeuksilla hajottaen verhokäyrän. Jos aaltopaketin kaikkien osa-aaltojen taajuudet ovat suppealla välillä ja tällä välillä &omega;(''k'') on likipitäen lineaarinen, pulssi muuttaa muotoaan vain vähän. (Tarkemmin jäljempänä kohdassa [[#Korkeamman kertaluvun termit dispersiossa|Korkeamman kertaluvun termit dispersiossa]].) Esimerkiksi syvässä vedessä eteneville [[painovoima-aalto|painovoima-aalloille]] pätee <math display="inline">\omega = \sqrt{gk}</math> ja sen vuoksi <math>v_g = \frac{v_p}{2}</math>.
Esimerkki viimeksi mainitusta tapauksesta on '''Kelvinin vanavesimalli''', joka pätee kaikkien laivojen ja muiden veden pinnalla etenevien kappaleiden taakse muodostuville aalloille. Nämä aallot muodostavat laivan tai muun kappaleen etenemissuuntaan nähden kummallekin puolelle aina [[arkusfunktio|arcsin]](1/3):n eli 19.47°:n suuruisen kulman riippumatta laivan tai muun kappaleen nopeudesta, kunhan se on vakio.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = G.B. Whitham | Nimeke = Linear and Nonlinear Waves | Sivut = 409–410 | Julkaisija = John Wiley & Sons Inc | Vuosi = 1974 | www = https://archive.org/details/LinearAndNonlinearWaves}}</ref>

===Johto===
Ryhmänopeuden lauseke voidaan johtaa esimerkiksi seuraavasti:<ref name=Griffiths>{{kirjaviite | Tekijä = David J. Griffiths | Nimeke = Introduction to Quantum Mechanics | Sivu = 48 | Julkaisija = Prentice Hall | Vuosi = 1995}}</ref><ref>{{kirjaviite | Tekijä = Dabid K. Ferry | Nimeke = Quantum Mechanics: An Introduction for Device Physicists and Electrical Engineers (2nd edition) | Sivut = 18–19 | Julkaisija = CRC Press | Vuosi = 2001 | Tunniste = | Isbn = 978-0-7503-0725-3 | www = https://books.google.com/books?id=imvYBULWPMQC&pg=PA18 | Bibcode = 2001qmid.book.....F
 }}</ref>

Tarkastellaan [[aaltopaketti]]a paikan (''x'') ja ajan ''t'' funktiona: ''&alpha;''(''x'',''t'').

Olkoon ''A''(''k'') aaltopaketin ''&alpha;''(''x'',''t'') [[Fourier-muunnos]] hetkellä ''t''=0. Tällöin aaltopaketti ''&alpha;''(''x'',0) saadaan muunnoksen ''A''(''k'') käänteismuunnoksena:
:<math> \alpha(x, 0) = \int_{-\infty}^\infty dk \, A(k) e^{ikx}.</math>

[[Superpositioperiaate|Superpositioperiaatteen]] mukaan aaltopaketti minä tahansa hetkenä ''t'' on
:<math> \alpha(x, t) = \int_{-\infty}^\infty dk \, A(k) e^{i(kx - \omega t)},</math>
missä ''&omega;'' on implisiittisesti ''k'':n funktio.

Oletetaan, että aaltopaketti ''&alpha;'' on lähes [[monokromaattinen]], niin että käyrä ''A''(''k'') muodostaa terävän piikin jonkin [[aaltoluku|aaltoluvun]] ''k''<sub>0</sub> ympärillä.

Silloin [[lineaarinen funktio|lineaarisella]] [[approksimaatio]]lla saadaan
:<math>\omega(k) \approx \omega_0 + \left(k - k_0\right)\omega'_0</math>
missä 
:<math>\omega_0 = \omega(k_0)</math> and <math>\omega'_0 = \left.\frac{\partial \omega(k)}{\partial k}\right|_{k=k_0}</math> 
Tästä tarkemmin seuraavassa osiossa.  Algebrallisesti voidaan osoittaa, että 
:<math> \alpha(x,t) = e^{i\left(k_0 x - \omega_0 t\right)}\int_{-\infty}^\infty dk \, A(k) e^{i(k - k_0)\left(x - \omega'_0 t\right)}.</math>

Tässä lausekkeessa on kaksi tekijää. Ensimmäinen tekijä, <math>e^{i\left(k_0 x - \omega_0 t\right)}</math>, esittää täydellistä monokromaattista aaltoa, jonka aaltovektori on ''k''<sub>0</sub> ja jonka aallonhuiput ja -pohjat etenevät [[vaihenopeus|vaihenopeudella]] <math>\omega_0/k_0</math> aaltopaketin verhokäyrän sisällä.

Toinen tekijä,
:<math>\int_{-\infty}^\infty dk \, A(k) e^{i(k - k_0)\left(x - \omega'_0 t\right)}</math>, 
antaa aaltopaketin verhokäyrän. Tämä verhofunktio ei riipu erikseen paikasta ja ajasta vaan ''ainoastaan'' niiden yhdistelmänä muodostettavan lausekkeen <math>(x - \omega'_0 t)</math> arvosta.

Siksi aaltopaketin verhokäyrä liikkuu nopeudella
:<math>\omega'_0 = \left.\frac{d\omega}{dk}\right|_{k=k_0}~,</math> 
mikä selittää ryhmänopeuden kaavan.

====Korkeamman kertaluvun termit dispersiossa====
[[File:Wave disp.gif|thumb|388px|right|Aaltopakettien hajoaminen korkeamman kertaluvun dispersioilmiöiden vaikutuksesta [[pintapainovoima-aalto|pintapainovoima-aalloilla]] syvässä vedessä (jossa ''v''(g)</sub> = ½''v<sub>p</sub>'').<br>Esimerkkinä oleva aalto on saatu yhdistelmänä kolmesta osa-aallosta, joiden aallonpituudet sisältyvät 22, 25 ja 29 kertaa jaksolliseen 2 kilometrin pituiseen alueeseen ja joiden amplitudit ovat vastaavasti 1, 2 ja 1 metriä.]] 

Edellä ryhmänopeuden lauseke johdettiin olettamalla, että 
:<math>\omega(k) \approx \omega_0 + (k - k_0)\omega'_0(k_0)</math>

Tämä likiarvo voidaan perustella funktion [[Taylorin sarja]]n avulla, kun arvot ''k'' ja ''k''<sub>0</sub> ovat tarpeeksi lähellä toisiaan. Jos aaltopaketissa kuitenkin esiintyy suuresti toisistaan poikkeavia taajuuksia tai jos dispersiolla ''&omega;(k)'' esiintyy teräviä vaihteluja esimerksi [[resonanssi]]n vuoksi tai jos aaltopaketti kulkee hyvin pitkän matkan, tämä likiarvo ei enää päde vaan funktion Taylorin sarjakehitelmän korkeammatkin termit ovat merkittäviä.

Seurauksena on, että aaltopaketin verhokäyrä ei ainoastaan liiku vaan myös muuttaa muotoaan tavalla, jota voidaan kuvailla väliaineen [[ryhmänopeusdispersio]]lla.  Hieman yksinkertaistaen tämän voidaan sanoa merkitsevän, että aaltopaketin eri taajuuskomponentit etenevät eri nopeuksilla, jolloin nopeammat komponentit lähestyvät aaltopaketin etureunaa, hitaammat sen takareunaa. Lopulta aaltopaketti venyy hajalle. Tällä ilmiöllä on suuri merkitys, kun tietoa siirretään [[optinen kuitu|optisten kuitujen]] avulla, sekä suuritehoisissa, lyhyitä pulsseja käyttävissä [[laser]]eissa.

=== Historia ===
Ajatuksen, että aaltolikkeellä on [[vaihenopeus|vaihenopeudesta]] erotettava ryhmänopeus, esitti ensimmäisenä [[William Rowan Hamilton|W.R. Hamilton]] vuonna 1839. Yksityiskohtaisemmin asiaa käsitteli ensimmäisenä [[lordi Rayleigh]] teoksessaan ''Theory of Sound'' vuonna 1877.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Léon Brillouin | Nimeke = Wave Propagation and Group Velocity | Julkaisija = Academic Press Inc. | Julkaisupaikka = New York | Vuosi = 1960 | oclc=537250}}</ref>

== Muita lausekkeita ==
[[Valo]]n tapauksessa väliaineen [[taitekerroin|taitekertoimen]] (''n'') sekä valon aallonpituudet tyhjiössä (&lambda;<sub>0</sub>) ja väliaineessa (&lambda;) liittyvät toisiinsa yhtälön 
:<math>\lambda_0 = \frac{2\pi c}{\omega}, \;\; \lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi v_p}{\omega}, \;\; n = \frac{c}{v_p} = \frac{\lambda_0}{\lambda},</math>
mukaisesti, missä ''v''<sub>p</sub> = ''ω''/''k'' on valon [[vaihenopeus]].

Niinpä valon ryhmänopeus voidaan laskea millä tahansa seuraavista kaavoista:
:<math> \begin{align}
  v_g &= \frac{c}{n + \omega \frac{\partial n}{\partial \omega}}
       = \frac{c}{n - \lambda_0 \frac{\partial n}{\partial \lambda_0}}\\
      &= v_p \left(1 + \frac{\lambda}{n} \frac{\partial n}{\partial \lambda}\right)
       = v_p - \lambda \frac{\partial v_p}{\partial \lambda} = v_p + k \frac{\partial v_p}{\partial k}.
\end{align}</math>

==Kolmessa ulottuvuudessa==
{{katso myös|[[Tasoaalto]]}}
Kolmessa ulottuvuudessa eteneville aalloille kuten valo-, ääni- ja aineaalloille vaihe- ja ryhmänopeuksien lausekkeet voidaan yleistää seuraavalla tavalla:<ref>{{kirjaviite | Tekijä = Geoffrey K. Vallis | Nimeke = Atmospheric and oceanic fluid dynamics: fundamentals and large-scale circulation | Sivu = 239 | Luku = Appendix: Wave Kinematics, Group Velocity and Phase Speed | Julkaisija = Cambridge University Press | Vuosi = 2006 | Tunniste = | Isbn = 978-0-521-84969-2 | www = https://books.google.com/books?id=cC0Kye7nHEEC&pg=PA239}}</ref>
:Yhdessä ulottuvuudessa: <math>v_p = \omega/k, \quad v_g = \frac{\partial \omega}{\partial k}, \,</math>
:Kolmessa ulottuvuudessa: <math>\mathbf{v}_p = \hat{\mathbf{k}} \frac{\omega}{|\mathbf{k}|}, \quad \mathbf{v}_g = \vec{\nabla}_{\mathbf{k}} \, \omega \,</math>
missä
:<math>\vec{\nabla}_{\mathbf{k}} \, \omega</math> 
tarkoittaa [[kulmataajuus|kulmataajuuden]] ''&omega;'' [[gradientti]]a aaltovektorin <math>\mathbf{k}</math> funktiona ja <math>\hat{\mathbf{k}}</math> on ''k'':n suuntainen [[yksikkövektori]].

Jos aallot etenevät [[anisotropia|anisotrooppisessa]] väliaineessa, jonka ominaisuudet eivät ole samat kaikkiin suuntiin, esimerkiksi [[kide|kiteessä]], vaihenopeusvektori ja ryhmänopeusvektori eivät välttämättä ole yhdensuuntaiset.

== Häviöllisessä tai aaltoa vahvistavassa väliaineessa ==
Ryhmänopeuden ajatellaan usein olevan se nopeus, jolla [[energia]] ja [[informaatio]] siirtyvät aallon mukana. Useimmissa tapauksissa näin onkin, ja ryhmänopeutta voidaan pitää aallon [[signaalinopeus|signaalinopeudella]]. Jos aalto kuitenkin etenee väliaineessa, jossa osa siitä [[absorptio|absorboituu]] tai jossa se edetessään vahvistuu, tämä ei aina pidä paikkaansa. Näissä tapauksissa ryhmänopeus ei aina edes ole hyvin määritelty tai mielekäs suure.

Kirjassaan “Wave Propagation in Periodic Structures”,<ref>{{kirjaviite | Tekijä = L. Brillouin | Nimeke = Wave Propagation in Periodic Structures | Julkaisija = McGraw Hill |Julkaisupaikka=New York |Vuosi = 1946}}</ref> [[Léon Brillouin|Brillouin]] väitti, että häviöllisessä väliaineessa ryhmänopeudella ei ole selvää fysikaalista merkitystä. Yksi esimerkki tästä on Loudonin kuvaama sähkömagneettisten aaltojen kulku atomikaasun läpi.<ref>{{kirjaviite | Tekijä = R. Loudon | Nimeke = The Quantum Theory of Light | Julkaisija = Oxford | Vuosi = 1973}}</ref> Toisen esimerkin muodostavat mekaaniset aallot Auringon [[fotosfääri]]ssä: aallonhuipuista aallonpohjiin säteilevä lämpö vaimentaa nämä aallot, ja energian siirtonopeus on usein paljon pienempi kuin aaltojen ryhmänopeus.<ref>{{lehtiviite | Tekijä = G. Worrall | Ostikko = On the Effect of Radiative Relaxation on the Flux of Mecanical-Wave Energy in the Solar Atmosphere | Julkaisu = Solar Physics | Vuosikerta = 279 | Numero = 1 | Sivut = 43–52 | Vuosi = 2012 | Doi=10.1007/s11207-012-9982-z|bibcode = 2012SoPh..279...43W }}</ref>

Tästä epäselvyydestä huolimatta yleinen tapa laajentaa ryhmänopeuden käsitettä monimutkaisiin väliaineisiin on käsitellä avaruudellisesti vaimenevia tasoaaltoratkaisuja väliaineen sisällä. Niitä luonnehtii tällöin [[kompleksiluku|kompleksiarvoinen]] aaltovektori. Tällöin aaltovektorin imaginaariosa jätetään huomioon ottamatta ja ryhmänopeuden tavanomaista lauseketta käytetään aaltovektorin reaaliosalle, toisin sanoen,

:<math>v_g = \left(\frac{\partial (\operatorname{Re} k)}{\partial \omega}\right)^{-1} .</math>

Yhtäpitävästi kompleksisen [[taitekerroin|taitekertoimen]] reaaliosaa <u>''n''</u> = ''n''+''i''''&kappa;'' käyttämällä saadaan:<ref name=Boyd1170885>{{lehtiviite | Tekijä = R. W. Boyd, D. J. Gauthier | Otsikko = Controlling the velocity of light pulses | Julkaisu = Science | Vuosikerta = 327 | Numero = 5956 | Sivut = 1074–1077 | Doi = 10.1126/science.1170885|bibcode = 2009Sci...326.1074B | www = http://www.phy.duke.edu/~qelectron/pubs/Science326_1074_2009.pdf}}</ref>
:<math>\frac{c}{v_g} = n + \omega \frac{\partial n}{\partial \omega} .</math>

Voidaan osoittaa, että tämä ryhmänopeuden yleistys edelleen liittyy aaltopaketin huipun näennäiseen nopeuteen. Edellä oleva määritelmä ei kuitenkaan ole ainoa mahdollinen: vaihtoehtoisesti voidaan tarkastella seisovien aaltojen (reaalinen ''k'', kompleksinen ''&omega;'') ajallista vaimenemista tai sallia, että ryhmänopeus on kompleksiarvoinen suure.<ref>{{lehtiviite | Tekijä = L. Muschietti, C. T. Dum | Otsikko = Real group velocity in a medium with dissipation | Julkaisu = Physics of Fluids B: Plasma Physics | Vuosikerta = 5 | Numero = 5 | Sivu = 1383 | Vuosi = 1993 | Doi = 10.1063/1.860877 | bibcode = 1993PhFlB...5.1383M }}</ref><ref>{{lehtiviite | Tekijä = Vladimir Gerasik, Marek Stastna | Otsikko = Complex group velocity and energy transport in absorbing media | Julkaisu = Physical Review E | Vuosikerta = 81 | Numero = 5 | Sivut = 056602 | Vuosi = 2010 | Doi = 10.1103/PhysRevE.81.056602|pmid=20866345 | bibcode = 2010PhRvE..81e6602G }}</ref> Nämä eri tavoin määritellyt ryhmänopeudet voivat samallakin aallolla olla eri suuret, mutta kun väliaineessa ei esiinny häviöitä eikä synny uusia aaltoja, ne kaikki johtavat yhtäpitävästi samaan tulokseen.

Nämä ryhmänopeuden yleistykset monimutkaisille väliaineille voivat käyttäytyä oudosti, mitä hyvin havainnollistaa [[anomaalinen dispersio|anomaalisen dispersion]] esimerkki. Sen alueen rajalla, missä dispersio on anomaalinen, ryhmänopeus <math>v_g</math> on ääretön (ja ylittää siten jopa [[valonnopeus|valon nopeuden tyhjiössä]], ja anomaalisen dispersion alueen sisällä ryhmänopeus voi olla myös negatiivinen (sen etumerkki on päinvastainen kuin ''k'':n reaaliosan).<ref name="DEWSL06"/><ref name="BLSB06"/><ref>{{lehtiviite | Tekijä = W. Withayachumnankul | Nimeke = B. M. Fische, B. Ferguson, B. R. Davis, D. Abbott | Otsikko = A Systemized View of Superluminal Wave Propagation | Julkaisu = Proceedings of the IEEE | Vuosikerta = 98 | Numero = 10 | Sivut = 1775–1786 | Vuosi = 2010 | Doi = 10.1109/JPROC.2010.2052910}}</ref>

=== Valonnopeuden ylittävät ryhmänopeudet ===

Monet kokeet ovat 1980-luvulta lähtien vahvistaneet, että [[laser]]in valopulssien edellä esitetyllä tavalla määritelty ryhmänopeus häviöllisissä tai aaltoa vahvistavassa väliaineessa voi olla merkittävästi suurempi kuin [[valonnopeus|valon nopeus tyhjiössä]], ''c''. Myös aaltopakettien aallonhuiput etenevät valonnopeutta suuremmalla nopeudella.

Tämä ei kuitenkaan mahdollista [[ylivalonnopeus|valoa nopeampia]] signaaleja, sillä ryhmänopeuden suuri arvo ei kiihdytä terävän aaltorintaman todellista liikettä, joka esiintyy jokaisen todellisen signaalin alussa. Oleellisesti tämä valonnopeutta suurempi ryhmänopeus on vain laskennallinen suure, joka liittyy siihen, miten ryhmänopeus on edellä määritelty, ja saa näin suuren arvon väliaineessa esiintyvien resonanssi-ilmiöiden vuoksi. Laajassa vyöanalyysissä nähdään, että tämä näennäisesti paradoksaalinen signaalin verhokäyrän etenemisnopeus johtuu itse asiassa laajemman taajuusalueen paikallisisista [[interferenssi|interferensseistä]] monella kierroksella, jotka kaikki etenevät täysin suhteellisuusteorian [[kausaliteetti]]periaatteen mukaisesti vaihenopeudella. Tulos on verrattavissa siihen, että varjo voi siirtyä valoa nopeammin, vaikka sen aikaansaava valo aina liikkuu normaalilla valonnopeudella; koska mitattu ilmiö liittyy vain epäsuorasti kausaliteettiin, se ei välttämättä noudata suhteellisuusteorian kausaliteettiperiaatetta, vaikka se normaaleissa olosuhteissa niin tekeekin.<ref name=Boyd1170885/><ref name="DEWSL06">{{lehtiviite | Tekijä = Gunnar Dolling, Christian Enkirch, Martin Wegener, Costas M. Soukoulis, Stefan Linden | Otsikko = Simultaneous Negative Phase and Group Velocity of Light in a Metamaterial |Julkaisu = Science | Vuosikerta = 312 | Numero = 5775 | Sivut = 892–894 | Vuosi = 2006 | Doi = 10.1126/science.1126021 |pmid=16690860 |bibcode = 2006Sci...312..892D }}</ref><ref name="BLSB06">{{lehtiviite | Tekijä = Matthew S. Bigelow, Nicj N. Lepeshkin, Shin Heedeuk, Robert W. Boyd | Otsikko = Propagation of a smooth and discontinuous pulses through materials with very large or very small group velocities |Julkaisu = Journal of Physics: Condensed Matter |Vuosikerta=18 |Sivut =3117–3126 |Vuosi=2006 |Doi=10.1088/0953-8984/18/11/017 |Numero=11|bibcode = 2006JPCM...18.3117B }}</ref><ref name="GSBKB06">{{lehtiviite | George M. Gehring, Aaron Schweinsberg, Christopher Barsi, Natalie Kostinski, Robert W. Boyd | Otsikko = Observation of a Backward Pulse Propagation Through a Medium with a Negative Group Velocity |Julkaisu = Science |Vuosikerta = 312 | Sivut = 895–897 |Vuosiyear=2006 |doi=10.1126/science.1124524 |pmid=16690861 |issue=5775|bibcode = 2006Sci...312..895G }}</ref><ref name="SLBBJ05">{{lehtiviite | Tekijä = A. Schweinsberg, N. N. Lepeshkin, M.S. Bigelow, R. W. Boyd, S. Jarabo | Otsikko = Observation of superluminal and slow light propagation in erbium-doped optical fiber | Julkaisu = Europhysics Letters | Vuosikerta = 73 | Numero = 2 | Sivut = 218–224 | Vuosi = 2005 | Doi = 10.1209/epl/i2005-10371-0 | bibcode = 2006EL.....73..218S | www = http://www.hep.princeton.edu/%7Emcdonald/examples/optics/schweinsberg_epl_73_218_06.pdf }}{{Vanhentunut linkki|bot=InternetArchiveBot }}</ref>

{{käännös|:en:Group velocity}}

== Lähteet ==
{{viitteet}}

== Katso myös ==
* [[Vaihenopeus]]
* [[Dispersio]]
* [[Tšerenkovin säteily]]

== Aiheesta muualla ==

* {{verkkoviite | Osoite = http://www.met.rdg.ac.uk/~sws97mha/Downstream/ | Nimeke = Group Velocity | Selite = Animaatio, joka osoittaa ryhmänopeuden merkityksen sääsysteemien kehittymisessä | viitattu = 27.3.2019 | arkisto = https://web.archive.org/web/20190504020931/http://www.met.rdg.ac.uk/~sws97mha/Downstream/ | arkistoitu = 4.5.2019 }}
* {{verkkoviite | Osoite = http://www.engineeredmiracle.com/fady/GroupAndPhaseVelocities/ | Nimeke = Phase vs. Group Velocity | Selite = Erilaisia vaihe- ja ryhmänopeuden välisiä relaatioita (animaatio) | viitattu = 27.3.2019 | arkisto = https://web.archive.org/web/20200418070125/http://www.engineeredmiracle.com/fady/GroupAndPhaseVelocities/ | arkistoitu = 18.4.2020 }}

[[Luokka:Aaltoliike]]
[[Luokka:Matemaattinen fysiikka]]