Lähdekoodi sivulle Jensenin epäyhtälö

Matematiikassa Jensenin epäyhtälöllä, nimetty tanskalaisen matemaatikko [[Johan Jensen]]in mukaan, voidaan arvioida konveksin funktion integraaleja.

==Äärellinen muoto==

Reaaliselle jatkuvalle konveksille funktiolle &phi; ja positiivisille painokertoimille ''a<sub>i</sub>'' on voimassa

:<math>\varphi\left(\frac{\sum a_{i} x_{i}}{\sum a_{i}}\right) \le \frac{\sum a_{i} \varphi (x_{i})}{\sum a_{i}} </math>

Epäyhtälö on käännettävä jos &phi; on [[konkaavi]].

Jos ''a<sub>i</sub>''=1, on 

:<math>\varphi\left(\frac{\sum x_{i}}{n}\right) \le \frac{\sum \varphi (x_{i})}{n}</math>

Funktio log(''x'') on konkaavi, joten sijoittamalla &phi;(''x'') = log(''x'') saadaan [[aritmeettis-geometrinen epäyhtälö]]:

:<math> \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}.</math>

==Yleinen väittämä==

Epäyhtälö voidaan kirjoittaa myös yleisemmässä muodossa [[mittateoria]]n avulla. Se voidaan ilmaista myös [[todennäköisyysteoria]]n avulla. Nämä väittämät ovat yhtäpitäviä.

===Mittateoreettinen muotoilu===

Olkoon (&Omega;,A,&mu;) [[mitta-avaruus]] siten, että  &mu;(&Omega;) = 1. Jos ''g'' on reaaliarvoinen &mu;-integroituva ja jos &phi; on konveksi joukossa ''g'', on voimassa

:<math>\varphi\left(\int_{\Omega} g\, d\mu\right) \le \int_\Omega \varphi \circ g\, d\mu. </math>

===Todennäköisyysteoreettinen muotoilu===

Todennäköisyysteorian terminologialla &mu; on [[todennäköisyysmitta]]. Funktio ''g'' korvataan reaaliarvoisella [[satunnaismuuttuja]]lla ''X''. Tällöin jokainen integraali &Omega;:ssa todennäköisyysmitan &mu; suhteen voidaan tulkita [[odotusarvo]]ksi. Tällöin, jos &phi; on konveksi funktio, on 

:<math>\varphi\left(\mathbb{E}\{X\}\right) \leq \mathbb{E}\{\varphi(X)\}.\,</math>

==Todistus==

Olkoon ''g'' &mu;-integroituva funktio mitta-avaruudessa &Omega; ja olkoon ''&phi;'' konveksi funktio ''g'':n määrittelyjoukossa. Määritellään &phi;:n oikeanpuoleinen derivaatta ''x'':ssä asettamalla

:<math>\varphi^\prime(x):=\lim_{t\to0^-}\frac{\varphi(x+t)-\varphi(x)}{t}</math>

Koska &phi; on konveksi, oikean puolen osamäärä on vähenevä kun ''t'' lähestyy nollaa oikealta. Osamäärä on myös alhaalta rajoitettu: sitä rajoittavat termit muotoa

:<math>\frac{\varphi(x+t)-\varphi(x)}{t},</math>

missä ''t'' < 0. Siten raja-arvo on aina olemassa.

Asetetaan nyt seuraavat merkinnät:

:<math>x_0:=\int_\Omega g\, d\mu,</math>

:<math>a:=\varphi^\prime(x_0),</math>

:<math>b:=\varphi(x_0)-x_0\varphi^\prime(x_0).</math>

Tällöin kaikilla ''x'' on voimassa <math>ax+b\leq\varphi(x)</math>. Tämä nähdään siitä, että jos ''x''&gt;''x''<sub>0</sub> ja ''t'' = ''x''&nbsp;&minus;&nbsp;''x''<sub>0</sub> &gt; 0, on voimassa

:<math>\varphi^\prime(x_0)\leq\frac{\varphi(x_0+t)-\varphi(x_0)}{t}.</math>

Siten

:<math>\varphi^\prime(x_0)(x-x_0)+\varphi(x_0)\leq\varphi(x)</math>

kuten vaadittiin. Tapaus ''x'' &lt; ''x''<sub>0</sub> todistetaan vastaavasti, kuten myös tapaus <math>ax_0+b=\varphi(x_0)</math>.

&phi;(''x''<sub>0</sub>) voidaan siten kirjoittaa muodossa

:<math>ax_0+b=a\left(\int_\Omega g\,d\mu\right)+b.</math>

Mutta koska &mu;(&Omega;) = 1, on kaikilla reaaliluvuilla ''k'' voimassa

:<math>\int_\Omega k\,d\mu=k.</math>

Erityisesti

:<math>a\left(\int_\Omega g\,d\mu\right)+b=\int_\Omega(ag+b)\,d\mu\leq\int_\Omega\varphi\circ g\,d\mu.</math>

[[Q.E.D.]]

==  Lähteet  ==

*[[Walter Rudin]], Real and Complex Analysis
*[[David Chandler]], Introduction to Modern Statistical Mechanics

==Aiheesta muualla==
* [http://mathworld.wolfram.com/JensensInequality.html Jensenin epäyhtälö MathWorldissä]
* Jensenin epäyhtälö on [[Kööpenhaminan yliopisto]]n matematiikan laitoksen logossa.

[[Luokka:Epäyhtälöt]]
[[Luokka:Analyysi]]