Lähdekoodi sivulle Jälki

{{Tämä artikkeli|kertoo lineaarialgebran käsitteestä. Kasmirin albumista kertoo [[Jälki (Kasmirin albumi)]].}}
[[Lineaarialgebra]]ssa ''n&times;n''-neliömatriisin ''A'' '''jälki''' on määritelmän mukaan ''A'':n [[päälävistäjä]]n alkioiden summa, eli

:<math>\mathrm{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + ... + a_{nn}\, = \sum_{i=1}^na_{ii}</math>,

missä a<sub>ii</sub> tarkoittaa ''A'':n alkiota rivillä ''i'' ja sarakkeessa i. <ref name=p1/> Jälki on siis kuvaus neliömatriisien joukosta <math>\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \to \mathbb{C}</math>.

==Ominaisuuksia==
Matriisin jälki on [[lineaarikuvaus]], eli

:<math>\mathrm{tr}(A + B) = \mathrm{tr}(A) + \mathrm{tr}(B)\,</math> 
:<math>\mathrm{tr}(rA) = r\;\mathrm{tr}(A)\,</math>

kaikille neliömatriiseille ''A'' ja ''B'', sekä kaikille [[skalaari|skalaareille]] <math>r \in \mathbb{C}</math>.

Koska päädiagonaali pysyy muuttumattomana [[transpoosi]]ssa, on neliömatriisilla ja sen transpoosilla sama jälki:

:<math>\mathrm{tr}(A) = \mathrm{tr}(A^T)\,</math>.

Jos ''A'' on ''n&times;m''-matriisi ja ''B'' on ''m''&times;''n''-matriisi, on

:<math>\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA)\,</math>,

vaikka matriisitulo ei olekaan [[kommutatiivinen]]. Edellisen nojalla jäljen sisällä olevien matriisien järjestystä voi kierrättää syklisesti

:<math>\mathrm{tr}(ABC) = \mathrm{tr}(CAB) = \mathrm{tr}(BCA)\,</math>.

Huomaa kuitenkin, ettei useamman matriisin järjestystä voi vaihtaa mielivaltaisesti. Tärkeä relaatio vallitsee myös matriisin [[ominaisarvo]]jen ja jäljen välillä. Jos <math>\lambda_i</math> ovat matriisin ominaisarvot, niin

:<math>\sum_{i=1}^{n} \lambda_i = \mathrm{tr}(A)</math>,

kun ''A'' on ''n&times;n''-matriisi.

== Lähteet ==
{{Viitteet|viitteet=
* <ref name=p1>{{Verkkoviite | osoite=https://mycourses.aalto.fi/pluginfile.php/123037/mod_resource/content/2/calculusfennicus.pdf  |  Nimeke=Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 880 | Tekijä=Pitkäranta, Juhani | Julkaisija=Avoimet oppimateriaalit ry. {{ISBN|978-952-7010-12-9}} {{ISBN|978-952-7010-13-6}} (pdf) | Julkaisupaikka=Helsinki | Vuosi=2015 | Tiedostomuoto=pdf| Viitattu=8.7.2019}}</ref>
}}

==Kirjallisuutta==
* {{Kirjaviite | Tekijä=Kivelä, Simo K. | Nimeke=[[Matriisilasku ja lineaarialgebra]] | Selite= | Julkaisija=Otatieto | Julkaisupaikka=Helsinki | Vuosi=1984 | Isbn= 951-671-368-8}}

{{tynkä/Matematiikka}}
[[Luokka:Lineaarialgebra]]