Lähdekoodi sivulle Eksponenttifunktion sarjakehitelmä

{{yhdistettävä artikkeliin|eksponenttifunktio|Orpo artikkeli, eikä tämä tästä paljon pidemmäksi kasva}}

'''Eksponenttifunktion sarjakehitelmä''' muuttujan x potenssisarjana on muotoa

<math>e^x = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + ... = \sum_{n = 0}^{\infty} {a_n x^n}</math><ref name=m1/>

Kertoimet <math>a_n</math> voidaan määrittää tarkastelemalla myös [[eksponenttifunktio]]n derivaatan <math>de^x/dx </math>

sarjakehitelmää

<math>{de^x \over dx} = \sum_{n = 0}^{\infty} {a_n n x^{n-1}} = \sum_{n = 1}^{\infty} {a_n n x^{n-1}}  = \sum_{n = 0}^{\infty} {a_{n+1} (n+1) x^n}  </math>

Mutta koska eksponenttifunktion määritelmän perusteella

<math>{de^x \over dx} = e^x</math>,

saadaan rekursioyhtälö

<math>a_{n+1} = {a_n \over {n+1}}</math>,

alkuarvolla <math>a_0 = e^0 = 1</math>.

Kertoimet ovat siis
<math>a_0 = 1</math>, 
<math>a_1 = 1</math>,
<math>a_2 = \frac 1 2</math>,
<math>a_3 = \frac 1 {2\cdot3} =\frac 1 6</math>,
<math>a_4 = \frac 1 {2\cdot3\cdot4} =\frac 1 {24}</math>
ja niin edelleen. Yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa [[kertoma]]n avulla muodossa 
<math> a_n = \frac 1 {n!}</math>.

Kantaluvun <math>e</math> eksponenttifunktio voidaan siten määritellä päättymättömänä [[potenssisarja]]na seuraavasti:

:<math>e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \ldots</math>

Tässä määritelmässä <math>n</math> on [[luonnollinen luku]], <math>x</math> on mielivaltainen reaaliluku tai [[kompleksiluku]] ja <math>n!</math> on [[kertoma]].

==Katso myös==
* [[Eksponenttifunktio]]

== Lähteet ==
{{Viitteet|viitteet=
* <ref name=m1>{{Kirjaviite | Tekijä=Thompson, Jan & Martinsson, Thomas | Nimeke=Matematiikan käsikirja| Sivut=77–78 | Julkaisupaikka=Helsinki | Julkaisija=Tammi | Vuosi=1994 | Tunniste = | Isbn = 951-31-0471-0}}</ref>
}}

{{Tynkä/Matematiikka}}

[[Luokka:Funktiot]]