Eksponenttifunktion sarjakehitelmä

Eksponenttifunktion sarjakehitelmä muuttujan x potenssisarjana on muotoa

$e^x=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+...=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$

Kertoimet $a_n$ voidaan määrittää tarkastelemalla myös eksponenttifunktion derivaatan $d{e}^x/dx$

sarjakehitelmää

$\frac{d{e}^x}{dx}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n}n{x}^{n-1}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n}n{x}^{n-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n+1}(n+1)x^n$

Mutta koska eksponenttifunktion määritelmän perusteella

$\frac{d{e}^x}{dx}=e^x$,

saadaan rekursioyhtälö

$a_{n+1}=\frac{a_n}{n+1}$,

alkuarvolla $a_0=e^0=1$.

Kertoimet ovat siis $a_0=1$, $a_1=1$, $a_2=\frac{1}{2}$, $a_3=\frac{1}{2\cdot 3}=\frac{1}{6}$, $a_4=\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}=\frac{1}{24}$ ja niin edelleen. Yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa kertoman avulla muodossa $a_n=\frac{1}{n!}$.

Kantaluvun $e$ eksponenttifunktio voidaan siten määritellä päättymättömänä potenssisarjana seuraavasti:

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\dots$

Tässä määritelmässä $n$ on luonnollinen luku, $x$ on mielivaltainen reaaliluku tai kompleksiluku ja $n!$ on kertoma.

Katso myös

• Eksponenttifunktio