Lähdekoodi sivulle Buckinghamin π-teoreema

'''Buckinghamin &pi;-teoreema''' on keskeinen teoreema [[dimensioanalyysi]]ssa. Sen avulla voidaan selvittää, kuinka monta riippumatonta [[dimensioton suure|dimensiotonta suuretta]] fysikaalisessa ongelmassa on.

Olkoon fysikaalisesti mielekkäässä yhtälössä ''n'' kappaletta suureita, jotka voidaan ilmaista ''k'' toisistaan riippumattomalla perussuureella. Buckinghamin &pi;-teoreeman mukaan alkuperäinen ongelma voidaan ilmaista yhtäpitävästi yhtälöllä, jossa on joukko ''p'' = ''n'' &minus; ''k''&nbsp; dimensiotonta alkuperäisistä muuttujista konstruoitua suuretta.

Matemaattisesti: olkoon alkuperäinen yhtälö

:<math>f(q_1,q_2,\ldots,q_n)=0\,\!</math>

missä ''q<sub>i</sub>''&nbsp; ovat ''n'' muuttujaa, jotka voidaan ilmaista ''k'' riippumattomalla perussuureella. Nyt alkuperäinen yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:

:<math>F(\pi_1,\pi_2,\ldots,\pi_p)=0\,\!</math>

missä ''p'' = ''n'' &minus; ''k'' ja &pi;<sub>i</sub> ovat dimensiottomia suureita siten, että

:<math>\pi_i=q_1^{m_1}\,q_2^{m_2}\cdots q_n^{m_n}</math>

missä eksponentit ''m<sub>i</sub>''&nbsp; ovat vakioita.

Dimensiottomien suureiden valinta ei ole kuitenkaan selvä, vaan jää tutkijan harteille. Teoreema on nimetty [[Edgar Buckingham]]in (1867–1940) mukaan, joka käytti ensimmäisenä π-merkintää vuonna [[1914]]. 

==Esimerkki: matemaattinen heiluri==

Ongelmana on määrittää matemaattisen [[heiluri]]n heilahdusaika ''T''. Oletetaan, että siihen vaikuttavia tekijöitä ovat heilurin varren pituus ''L'', massa ''M'' sekä painovoimakiihtyvyys Maan pinnalla ''g'' (yksikkö m/s<sup>2</sup>). Malli on muotoa

:<math>f(T,M,L,g) = 0\,</math>

Yhtälössä on kolme perussuuretta: massa, aika ja pituus. Siten ongelman kuvaamiseen riittää yksi dimensioton suure &pi;, ja se voidaan ilmaista muodossa

:<math>f(\pi) = 0\,</math>

missä

:<math>\pi=(T)^{m_1}(M)^{m_2}(L)^{m_3}(g)^{m_4}\,</math>
:<math>   =(T)^{m_1}(M)^{m_2}(L)^{m_3}(L/T^2)^{m_4}\,</math>

joillakin m<sub>1</sub>&hellip;m<sub>4</sub>. Tulee siis olla <math> (s)^{m_1}(kg)^{m_2}(m)^{m_3}(m/s^2)^{m_4}\ = 1</math>, eli

*pituus: <math>m_3 + m_4 \; = \; 0</math>
*massa: <math>m_2 \; = \; 0</math>
*aika: <math>-2 \cdot m_4 + m_1 = 0</math>

Tästä voidaan ratkaista, että vain 

:<math>\pi=(T)^2(M)^0(L)^{-1}(L/T^2)^1\,</math>
:<math>   =gT^2/L\,</math>

tai jokin sen potenssi täyttää vaatimukset. Siis ongelma voidaan ilmaista

:<math>f(gT^2/L) = 0\,</math>

Dimensioanalyysi kertoo, että massalla ei ole vaikutusta heilurin heilahdusaikaan. Matemaattisen heilurin heilahdusaika on <math> T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}</math>.

== Aiheesta muualla ==
*[http://www.math.ntnu.no/~hanche/notes/buckingham/buckingham-a4.pdf Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet (NTNU), Harald Hanche-Olsen: Buckingham’s pi-theorem] (pdf-tiedosto englanniksi)

{{käännös}}

[[Luokka:Dimensioanalyysi]]