Buckinghamin π-teoreema

Buckinghamin π-teoreema on keskeinen teoreema dimensioanalyysissa. Sen avulla voidaan selvittää, kuinka monta riippumatonta dimensiotonta suuretta fysikaalisessa ongelmassa on.

Olkoon fysikaalisesti mielekkäässä yhtälössä n kappaletta suureita, jotka voidaan ilmaista k toisistaan riippumattomalla perussuureella. Buckinghamin π-teoreeman mukaan alkuperäinen ongelma voidaan ilmaista yhtäpitävästi yhtälöllä, jossa on joukko p = n − k dimensiotonta alkuperäisistä muuttujista konstruoitua suuretta.

Matemaattisesti: olkoon alkuperäinen yhtälö

f (q_{1}, q_{2}, \dots, q_{n}) = 0

missä q_i ovat n muuttujaa, jotka voidaan ilmaista k riippumattomalla perussuureella. Nyt alkuperäinen yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:

F (π_{1}, π_{2}, \dots, π_{p}) = 0

missä p = n − k ja π_i ovat dimensiottomia suureita siten, että

π_{i} = q_{1}^{m_{1}} q_{2}^{m_{2}} \dots q_{n}^{m_{n}}

missä eksponentit m_i ovat vakioita.

Dimensiottomien suureiden valinta ei ole kuitenkaan selvä, vaan jää tutkijan harteille. Teoreema on nimetty Edgar Buckinghamin (1867–1940) mukaan, joka käytti ensimmäisenä π-merkintää vuonna 1914.

Esimerkki: matemaattinen heiluri

Ongelmana on määrittää matemaattisen heilurin heilahdusaika T. Oletetaan, että siihen vaikuttavia tekijöitä ovat heilurin varren pituus L, massa M sekä painovoimakiihtyvyys Maan pinnalla g (yksikkö m/s²). Malli on muotoa

f (T, M, L, g) = 0

Yhtälössä on kolme perussuuretta: massa, aika ja pituus. Siten ongelman kuvaamiseen riittää yksi dimensioton suure π, ja se voidaan ilmaista muodossa

f (π) = 0

missä

π = (T)^{m_{1}} (M)^{m_{2}} (L)^{m_{3}} (g)^{m_{4}}

= (T)^{m_{1}} (M)^{m_{2}} (L)^{m_{3}} (L / T^{2})^{m_{4}}

joillakin m₁…m₄. Tulee siis olla $(s)^{m_{1}} (k g)^{m_{2}} (m)^{m_{3}} (m / s^{2})^{m_{4}} = 1$ , eli

pituus: $m_{3} + m_{4} = 0$
massa: $m_{2} = 0$
aika: $- 2 \cdot m_{4} + m_{1} = 0$

Tästä voidaan ratkaista, että vain

π = (T)^{2} (M)^{0} (L)^{- 1} (L / T^{2})^{1}

= g T^{2} / L

tai jokin sen potenssi täyttää vaatimukset. Siis ongelma voidaan ilmaista

f (g T^{2} / L) = 0

Dimensioanalyysi kertoo, että massalla ei ole vaikutusta heilurin heilahdusaikaan. Matemaattisen heilurin heilahdusaika on $T = 2 π \sqrt{\frac{L}{g}}$ .

Aiheesta muualla

Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet (NTNU), Harald Hanche-Olsen: Buckingham’s pi-theorem (pdf-tiedosto englanniksi)

Malline:Käännös

Buckinghamin π-teoreema

Esimerkki: matemaattinen heiluri

Aiheesta muualla

Navigointivalikko

Haku