Yksikköjuuri

Viidennet yksikköjuuret kompleksitasossa

Kolmannet yksikköjuuret kompleksitasossa.

Yksikköjuuri tai ykkösenjuuri on kompleksiluku, joka korotettuna annetun positiivisen kokonaisluvun n osoittamaan potenssiin on 1. Toisin sanoen n:nnet yksikköjuuret ovat yhtälön

$z^n=1$

ratkaisuja kompleksilukujen joukossa.

Moivren ja Eulerin kaavat

Kutakin positiivista kokonaislukua n kohti on olemassa n kpl n:siä yksikkö­juuria. Ne sijaitsevat kaikki kompleksitasoon piirretyn yksikköympyrän kehällä ja muodostavat tämän ympyrän sisään piirretyn säännöllisen n-kulmion kärki­pisteet, kun yksi kärki­pisteistä on pisteessä 1. Yksikkö­juurten arvot voidaan esittää muodossa

$\cos \frac{2\pi }{k}+i\sin \frac{2\pi }{k}$

missä luku k saa kaikki kokonais­luku­arvot 0:sta n-1:een. Tämä seuraa Moivren kaavasta, jonka mukaan

$(\cos \varphi +i\sin \varphi {)}^n=\cos (n\varphi )+i\sin (n\varphi )$.

Eulerin kaavan mukaisesti nämä luvut voidaan esittää myös muodossa

$e^{\frac{2\pi ik}{n}}$ (k=0, 1, …, n-1).

Tavallisesti n:nnellä yksikköjuurella tarkoitetaan näistä luvuista nimenomaan sitä, jossa k = 1, siis lukua

$e^{\frac{2\pi i}{n}}$

Sille käytetään myös merkintää ${ϵ}_n$.

Yksikköjuurten avulla voidaan muun muassa ratkaista yleinen binomiyhtälö

$z^n=q$,

missä q on mielivaltainen kompleksiluku (≠ 0). Kun q voidaan aina esittää muodossa

$q=r{e}^{i\varphi }$,

ovat yhtälön ratkaisut

$x=\sqrt[n]{z}{e}^{\frac{i\varphi }{n}}{ϵ}_n^k$.

Esimerkkejä

Esimerkiksi toisen yksikköjuuren arvot ovat 1 ja -1, neljännen 1, i, -1 ja -i, jotka sijaitsevat kompleksi­tasoon piirretyn neliön kärki­pisteissä. Kolmannen yksikkö­juuren (ε₃^k) arvot ovat
1 sekä $\cos \frac{2\pi }{3}\pm i\sin \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$,
jotka muodostavat tasa­sivuisen kolmion. Kuudennen yksikkö­juuren (ε₆^k) vastaavasti
1 ja -1 sekä $\pm \cos \frac{2\pi }{3}\pm i\sin \frac{2\pi }{3}=\pm \frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
, ja kahdeksannen (ε₈^k)
1, i, -1 ja -i sekä $\pm \cos \frac{\pi }{4}\pm i\sin \frac{\pi }{4}=\pm \frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Lähteet

• Malline:Kirjaviite
• Malline:Kirjaviite

Kirjallisuutta

• Malline:Kirjaviite – Malline:ISBN (eBook)
• Malline:Kirjaviite