Pistemääräfunktio

Matemaattisessa tilastotieteessä pistemääräfunktioksi kutsutaan uskottavuusfunktion $L(\theta ;X)$ logaritmin derivaattaa. Pistemääräfunktio ilmaisee uskottavuusfunktion riippuvuutta parametrista $\theta$.

Ratkaisemalla pistemääräfunktion nollakohta voidaan laskea parametrin $\theta$ suurimman uskottavuuden estimaatti.

Määritelmä

Olkoon otos $X$ ja sen uskottavuusfunktio $L(\theta ;X)$. Tällöin pistemääräfunktio $V$ voidaan löytää ketjusäännön avulla:

$V\equiv V(\theta ,X)=\frac{\partial }{\partial \theta }\log L(\theta ;X)=\frac{1}{L(\theta ;X)}\frac{\partial L(\theta ;X)}{\partial \theta }.$

Ominaisuuksia

Keskiarvo

Pistemääräfunktion $V$ odotusarvo havainnoilla $x$, parametrilla $\theta$ on nolla. Tämä voidaan havaita kirjoittamalla uskottavuusfunktio $L(\theta ;x)=f(x;\theta )$ tiheysfunktiona,

$𝔼(V|\theta )=\underset{x=-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{\partial }{\partial \theta }\log f(x;\theta ))f(x;\theta )dx=\underset{x=-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\frac{\partial f(x;\theta )}{\partial \theta }}{f(x;\theta )}f(x;\theta )dx$

mikäli oletetaan että derivoinnin ja integroinnin järjestys voidaan vaihtaa (katso Leibnizin integraalisääntö), niin integraali voidaan yksinkertaistaa muotoon:

$𝔼(V|\theta )=\underset{x=-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\partial f(x;\theta )}{\partial \theta }dx=\frac{\partial }{\partial \theta }\underset{x=-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x;\theta )dx=\frac{\partial }{\partial \theta }1=0.$

Varianssi

Pistemääräfunktion varianssia kutsutaan Fisher-informaatioksi ja sitä merkitään $ℐ(\theta )$. Koska pistemääräfunktion odotusarvo on nolla, voidaan Fisher-informaatio esittää muodossa:

$ℐ(\theta )=𝔼\left\{{[\frac{\partial }{\partial \theta }\log L(\theta ;X)]}^2|\theta \right\}.$

Katso myös

• Ronald Fisher

Lähteet

• Cox, D.R., Hinkley, D.V. (1974) Theoretical Statistics, Chapman & Hall. Malline:ISBN
• Malline:Cite book