Osamäärän derivoimissääntö

Osamäärän derivoimissääntö on matemaattinen kaava, jonka avulla voidaan laskea derivaatta funktiolle, joka on esitettävissä kahden helpommin derivoitavan funktion osamääränä.

Lauseen muotoilu

Olkoon funktio $f:A\to ℝ$ esitettävissä funktioiden $g$ ja $h$ osamääränä $f\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)}{h\left(x\right)}$. Olkoot lisäksi funktiot $g$ ja $h$ derivoituvia pisteessä $a\in A$ ja $h\left(x\right)\ne 0$. Tällöin $f^{\prime }\left(a\right)=\frac{g^{\prime }\left(a\right)h\left(a\right)-g\left(a\right)h^{\prime }\left(a\right)}{h{\left(a\right)}^2}$.

Todistus

Derivaatan määritelmän mukaan

$f^{\prime }\left(a\right)=\underset{\mathrm{\Delta }a\to 0}{\lim }\frac{f(a+\mathrm{\Delta }a)-f\left(a\right)}{\mathrm{\Delta }a}$

Sijoitetaan funktion $f$ tilalle osamäärä $g/h$

$=\underset{\mathrm{\Delta }a\to 0}{\lim }\frac{\frac{g(a+\mathrm{\Delta }a)}{h(a+\mathrm{\Delta }a)}-\frac{g\left(a\right)}{h\left(a\right)}}{\mathrm{\Delta }a}$

Lavennetaan osamäärät samannimisiksi

$=\underset{\mathrm{\Delta }a\to 0}{\lim }\frac{\frac{g(a+\mathrm{\Delta }a)h\left(a\right)}{h(a+\mathrm{\Delta }a)h\left(a\right)}-\frac{g\left(a\right)h(a+\mathrm{\Delta }a)}{h(a+\mathrm{\Delta }a)h\left(a\right)}}{\mathrm{\Delta }a}$

Siirretään yhteinen nimittäjä koko osamäärän nimittäjään

$=\underset{\mathrm{\Delta }a\to 0}{\lim }\frac{g(a+\mathrm{\Delta }a)h\left(a\right)-g\left(a\right)h(a+\mathrm{\Delta }a)}{h(a+\mathrm{\Delta }a)h\left(a\right)\mathrm{\Delta }a}$

Lisätään ja vähennetään termi $g\left(a\right)h\left(a\right)$

$=\underset{\mathrm{\Delta }a\to 0}{\lim }\frac{g(a+\mathrm{\Delta }a)h\left(a\right)-g\left(a\right)h(a+\mathrm{\Delta }a)+g\left(a\right)h\left(a\right)-g\left(a\right)h\left(a\right)}{h(a+\mathrm{\Delta }a)h\left(a\right)\mathrm{\Delta }a}$

Otetaan $h\left(a\right)$ ja $-g\left(a\right)$ yhteisiksi tekijöiksi

$=\underset{\mathrm{\Delta }a\to 0}{\lim }\frac{(g(a+\mathrm{\Delta }a)-g\left(a\right))h\left(a\right)-g\left(a\right)(h(a+\mathrm{\Delta }a)-h\left(a\right))}{h(a+\mathrm{\Delta }a)h\left(a\right)\mathrm{\Delta }a}$

Supistetaan termillä $\mathrm{\Delta }a$

$=\underset{\mathrm{\Delta }a\to 0}{\lim }\frac{\frac{g(a+\mathrm{\Delta }a)-g\left(a\right)}{\mathrm{\Delta }a}h\left(a\right)-g\left(a\right)\frac{h(a+\mathrm{\Delta }a)-h\left(a\right)}{\mathrm{\Delta }a}}{h(a+\mathrm{\Delta }a)h\left(a\right)}$

Siirretään raja-arvo termeihin erikseen (sillä summan raja-arvo on raja-arvojen summa, samoin osamäärän raja-arvo on raja-arvojen osamäärä)

$=\frac{\underset{\mathrm{\Delta }a\to 0}{\lim }\frac{g(a+\mathrm{\Delta }a)-g\left(a\right)}{\mathrm{\Delta }a}h\left(a\right)-g\left(a\right)\underset{\mathrm{\Delta }a\to 0}{\lim }\frac{h(a+\mathrm{\Delta }a)-h\left(a\right)}{\mathrm{\Delta }a}}{\underset{\mathrm{\Delta }a\to 0}{\lim }h(a+\mathrm{\Delta }a)h\left(a\right)}$

Havaitaan, että näin syntyneet raja-arvot ovat funktioiden $g$ ja $h$ erotusosamäärien raja-arvoja, eli derivaattoja

$=\frac{g^{\prime }\left(a\right)h\left(a\right)-g\left(a\right)h^{\prime }\left(a\right)}{h{\left(a\right)}^2}$.

Esimerkkejä

Esimerkki 1

Määritä funktion $f:ℝ\to ℝ$, $f\left(x\right)=\frac{x^2-2}{2x^4+7}$ derivaatta pisteessä $x=2$.

Funktio $f$ voidaan selvästi esittää kahden funktion, $g\left(x\right)=x^2-2$ ja $h\left(x\right)=2x^4+7$ osamääränä. Molemmat funktiot ovat derivoituvia pisteessä $x=2$ ja funktiolla $h$ ei ole nollakohtia. Käytetään siis osamäärän derivoimissääntöä.

Lasketaan ensin funktioiden $g$ ja $h$ derivaattafunktiot: $g^{\prime }\left(x\right)=2x$, $h^{\prime }\left(x\right)=8x^3$. Osamäärän derivoimissäännön mukaan seuraava pätee:

$f^{\prime }\left(2\right)=\frac{g^{\prime }\left(2\right)h\left(2\right)-g\left(2\right)h^{\prime }\left(2\right)}{h{\left(2\right)}^2}$

Sijoittamalla derivaatat lausekkeeseen saadaan

$f^{\prime }\left(2\right)=\frac{(2\cdot 2)(2\cdot 2^4+7)-(2^2-2)(8\cdot 2^3)}{{(2\cdot 2^4+7)}^2}=\frac{28}{1521}.$

Esimerkki 2

Määritä funktion $f\left(x\right)=\frac{\left|x\right|+1}{\left|x\right|+1}$ derivaatta pisteessä $x=0$.

Emme voi käyttää osamäärän derivoimissääntöä, sillä $|x|+1$ ei ole derivoituva pisteessä $x=0$, mutta saamme sievennettyä lausekkeen muotoon $f\left(x\right)=1$, jonka derivaatta jokaisessa pisteessä on nolla.

Tämä esimerkki osoittaa, että vaikka osamäärän derivoimissääntö onkin kätevä, se ei aina ole paras tapa derivoida funktiota, joka voidaan esittää kahden funktion osamääränä.

Lähteet

• Malline:Verkkoviite