Kendallin järjestyskorrelaatiokerroin

Kendallin järjestyskorrelaatiokerroin, eli Kendallin tau on ei-parametrinen tilastollinen tunnusluku kahden järjestysasteikollisen suureen välisen korrelaation mittaamiseen. Testin kehitti Maurice Kendall, vuonna 1938.

Määritelmä

Olkoon $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_n,y_n)$ havaintoja muuttujien $X$ ja $Y$ yhteisjakaumasta. Parit $(x_i,y_i)$ ja $(x_j,y_j)$ ovat samansuuntaisia, mikäli $x_i>x_j$ ja $y_i>y_j$, tai $x_i<x_j$ ja $y_i<y_j$. Muuten parit ovat vastakkaissuuntaisia. Määritelmän mukaan mikäli $x_i=x_j$ tai $y_i=y_j$ parit eivät ole vastakkais- eivätkä samansuuntaisia.

Kendallin tau-järjestyskorrelaatiokerroin on

$\tau =\frac{n_s-n_v}{n_0},$

missä

$n_s=\text{samansuuntaisten parien lukumäärä}$

$n_v=\text{vastakkaissuuntaisten parien lukumäärä}$

$n_0=n(n-1)/2\text{ (parien lukumäärä yhteensä)}$.

Näin ollen taun kertoimen arvo on välillä $-1\le \tau \le 1$.

Merkitsevyyden testaaminen

Kendallin järjestyskorrelaatiokerrointa voidaan käyttää testisuureena testaamaan hypoteesia kahden muuttujan välisestä riippuvuudesta. Testi ei vaadi oletuksien muuttujien $X$ tai $Y$ jakaumista tai näiden yhteisjakaumasta.

Nollahypoteesin ollessa voimassa (muuttujien $X$ ja $Y$ ollessa riippumattomia) korrelaatiokertoimen $\tau$ otosjakauman odotusarvo on nolla. Tarkkaa jakaumaa ei voida ilmaista yleisesti tunnettujen jakaumien avulla, mutta se on laskettavissa otoskokojen ollessa pieniä. Suurille otoskoille voidaan käyttää approksimaatiota normaalijakaumasta keskiarvolla nolla ja varianssilla

$\frac{2(2n+5)}{9n(n-1)}$.

Tasatulokset

Tilanteessa, jossa muuttujien järjestysluvuissa esiintyy tasatuloksia eli sidoksia voidaan tunnusluvusta käyttää versioita, joissa tasatulokset on otettu huomioon.

Aiheesta muualla

• Yhteiskuntatieteellinen tietoarkisto, menetelmäopetuksen tietovaranto