Häiriöalttius (matematiikka)

Malline:LähteetönHäiriöalttius numeerisessa analyysissä kertoo, kuinka paljon funktion arvo voi muuttua sen argumentin muuttumiseen nähden. Häiriöalttius siis kertoo, miten herkkä funktion arvo on datan virheille.

Matriisin A häiriöalttius määritellään operaattorinormin avulla:

$\kappa (A)=\Vert A^{-1}\Vert \cdot \Vert A\Vert .$

Tyypillisillä normeilla $\kappa (A)\ge 1$. Voidaan osoittaa, että jos $x$ ratkaistaan yhtälöstä $Ax=b$ virheellisellä datalla $b+e$, niin ratkaisun $x^{\prime }=A^{-1}(b+e)$ suhteellinen virhe $\Vert x^{\prime }-x\Vert /\Vert x\Vert$ jaettuna $b$:n suhteellisella virheellä eli

$\frac{\Vert x^{\prime }-x\Vert /\Vert x\Vert }{\Vert e\Vert /\Vert b\Vert }=\frac{\Vert A^{-1}e\Vert /\Vert A^{-1}b\Vert }{\Vert e\Vert /\Vert b\Vert }$

on maksimissaan $\kappa (A)$ (kun $b,e\ne 0$).