Epäjatkuvuuskohta

Epäjatkuvuuskohta liittyy käsitteenä matematiikassa funktion jatkuvuuteen. Epäjatkuvuuskohta on funktion määrittelyjoukon arvo (eli joukko-opissa alkio), jonka ympäristössä funktion arvot eivät toteuta jatkuvuusehtoa. Jatkuvuusehto riippuu matematiikan haarasta ja käsiteltävästä tilanteesta.

Yhden reaalimuuttujan tapaus

Yhden muuttujan reaalifunktiolla on jatkuvuusehto

$\underset{x\to a-}{\lim }f(x)=\underset{x\to a+}{\lim }f(x)=f(a),$

jossa kohdassa $a$ toispuoleiset raja-arvot vasemmalta puolelta ja oikealta puolelta tulee olla samat ja tämän lisäksi funktion arvon $f(a)$ tulee olla raja-arvojen suuruinen. Jos toinen tai molemmat raja-arvot eivät ole olemassa tai ne ovat eri suuruiset, funktio on epäjatkuva kohdassa $a$. Jos funktion arvo $f(a)$ on eri suuri kuin raja-arvot, on funktio epäjatkuva.

Epäjatkuvuuskohtien luokittelua

On huomattava, että jatkuvuus ja epäjatkuvuus ovat funktion ominaisuuksia, joten funktio voi olla epäjatkuva vain pisteissä, joissa se on määritelty! Epäjatkuvuuskohdat voidaan luokitella seuraaviin kategorioihin tai niiden yhdistelmiin.

Hyppäysepäjatkuvuus

Hyppäysepäjatkuvuus pisteessä $x=0$.

Piste, jossa funktion kuvaaja ''hyppää'' äkillisesti arvosta toiseen. Esimerkiksi funktio $f:ℝ\to ℝ$,

$f(x)=\{\begin{array}{cc}-1,& \text{kun }x\le 0\\ 1,& \text{kun }x>0\end{array}$

on epäjatkuva pisteessä $x=0$.

''Karkailu äärettömyyteen''

Funktio ''karkaa äärettömyyteen'' pistettä $x=0$ lähestyttäessä.

Esimerkiksi funktio $f:ℝ\to ℝ$,

$f(x)=\{\begin{array}{cc}1/x,& \text{kun }x\ne 0\\ 0,& \text{kun }x=0\end{array}$

on epäjatkuva pisteessä $x=0$. Lähestyttäessä origoa vasemmalta funktion arvot pienenevät rajatta ja vastaavasti oikealta lähestyttäessä ne kasvavat rajatta.

Heilahteluepäjatkuvuus

Funktio $\sin (1/x)$ heilahtelee rajusti pisteen $x=0$ ympärillä.

Heilahteluepäjatkuvuuskohta on piste, jossa funktiota ei voi määritellä jatkuvaksi, sillä funktio saa millä tahansa välillä pisteen ympäristössä useita eri arvoja. Esimerkiksi funktio $f:ℝ\to ℝ$,

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\sin \left(\frac{1}{x}\right)& \text{kun }x\ne 0\\ x_0,& \text{kun }x=0\end{array}$

on epäjatkuva pisteessä $x=0$ riippumatta siitä, miten luku $x_0$ valitaan. Funktio saa kaikki arvot välillä $[-1,1]$, kun $x\ne 0$, riippumatta siitä, kuinka pienellä välillä origon ympärillä funktiota tarkasteltaisiin. Näin ollen, oli $f(0)$ mitä tahansa, ei $f$ ole jatkuva origossa.

Poistuva epäjatkuvuus

Poistuva epäjatkuvuus pisteessä $x=2$.

Funktio saadaan ''korjattua'' jatkuvaksi epäjatkuvuuskohdassa, kun sen arvoa kyseisessä pisteessä muutetaan. Esimerkiksi funktio $f:ℝ\to ℝ$,

$f(x)=\{\begin{array}{cc}x+1,& \text{kun }x\ne 2\\ 1,& \text{kun }x=2\end{array}$

on epäjatkuva pisteessä $x=2$, mutta ''korjaamalla'' $f(2)=3$ siitä tulisi jatkuva.

Lähteet

• Malline:Verkkoviite
• Malline:Verkkoviite

Kirjallisuutta

• Malline:Verkkoviite