Cesàron yhteenlasku

Cesàron yhteenlasku määrittelee jatkuvien sarjojen yhteenlaskua. Se tunnetaan myös nimellä Cesàron summakaava.

Cesàron yhteenlasku on nimetty italialaisen analyytikon Ernesto Cesàron (1859–1906) mukaan .

Määritelmä

Olkoon {a_n} sarja ja olkoon

$s_k=a_1+\cdots +a_k$,

sarjan

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n.$ k:s osasumma.

Sarjaa {a_n} kutsutaan Cesàro-summautuvaksi, jos Cesàron summa $A\in ℝ$, jos sen keskiarvo osasummista $s_k$ lähenee $A$:ta:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{s}_k=A.$

Toisin sanoen siis äärettömän sarjan Cesàro-summa on sarjan ensimmäisten osasummien 1, ..., n aritmeettisen keskiarvon raja-arvo, kun n lähestyy ääretöntä.

Esimerkkejä

Olkoon a_n = (−1)ⁿ⁺¹, kun n ≥ 1. {a_n} on lukujono

$1,-1,1,-1,\dots .$

Merkitään sarjaa $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=1-1+1-1+1-\cdots$ G:llä.

Näin ollen lukujonon osasumma {s_n} $=\sum _{k=1}^n{a}_k$ on

$1,0,1,0,\dots ,$

Nähdään, että sarja G, (joka tunnetaan myös Grandin sarjana), ei suppene.

Toisaalta sarjan {s_n} keskiarvojen muodostaman sarjan {t_n}

Toisaalta sarjan {sn} keskisarjan {t_n} termit

$t_n=\frac{\sum _{k=1}^n{s}_k}{n}$ termejä ovat

$\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{2}{4},\frac{3}{5},\frac{3}{6},\frac{4}{7},\frac{4}{8},\dots ,$

joten

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{t}_n=1/2.$

Tällöin Cesàron summa sarjalle G on 1/2.

Lähteet

Englanninkielinen Wikipedia