Laplacen matriisi

Verkkoteoriassa Laplacen matriisi eli Kirchhoffin matriisi on verkon matriisiesitys. Tätä voidaan käyttää verkon virittäjäpuun laskemiseen.

Määritelmä

Verkon G Laplacen matriisi on määritelmän mukaan

$L:=D-A,$

missä D on G:n astematriisi ja A on G:n vierusmatriisi.

Tarkemmin, olkoon G annettu n-solmuinen verkko. Tällöin

$L_{i,j}:=\{\begin{array}{cc}\mathrm{deg}(v_i)& \text{jos}i=j\\ -1& \text{jos}i\ne j\text{ja}{v}_i\text{ja}{v}_j\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{k}\mathrm{k}\ddot{\mathrm{a}}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}\text{ solmut}\\ 0& \text{muulloin}\end{array}$

Suunnatuille verkoille voidaan käyttää joko särmien sisä- tai ulkoastetta tilanteesta ja sovelluksesta riippuen. Malline:Tynkä/Matematiikka