Juuri (laskutoimitus)

Rhindin papyruksessa vuodelta 1650 eaa. käytettiin juurilaskentaa kolmiomatematiikan apuna.

Matematiikassa n. juuri luvusta x tarkoittaa lukua, jonka n. potenssi on x. Luvun x n. juuri merkitään muodossa

$\sqrt[n]{x}$,

missä n on luonnollinen luku. Edellä mainitussa juuressa luku x on juurrettava.

On muistettava tehdä ero juurioperaattorin käyttöön laskutoimituksena ja lukuna. Lukuna juurioperaation merkintätavan on sovittu tarkoittavan aina vain positiivista arvoa, esimerkiksi $4^{}\sqrt{58}$ on positiivinen irrationaaliluku.

Reaalilukujen juurifunktio

Malline:Pääartikkeli Nollan juuri on nolla kaikilla luvun n arvoilla.

Pariton juuri voidaan määritellä kaikille reaaliluvuille siten, että saadaan tasan yksi ratkaisu, eli juuren otto on bijektiivinen funktio.

Jos otetaan parillinen juuri positiivisesta reaaliluvusta, saadaan kaksi mahdollista tulosta: negatiivinen ja positiivinen. Esimerkiksi 4. juuri luvusta 81 voi saada vastaukseksi 3 tai −3, eli $4^{}\sqrt{81}=3\vee -3.$

Perusominaisuudet

Kun juuri n on luonnollinen luku, pätevät seuraavat laskutoimitukset:

$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b},$

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}(b\ne 0),$

$\sqrt[n]{a^m}={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=a^{\frac{m}{n}},$

missä a ja b ovat positiivisia reaalilukuja.

Kompleksilukujen juurifunktio

Kompleksilukujen joukossa yhtälöllä

$z^n=q$

on aina n kappaletta ratkaisuja, kun q on mielivaltainen kompleksiluku (≠0). Kun q on 1, sanotaan näitä ratkaisuja n.nsiksi yksikköjuuriksi, ja ne muodostavat kompleksitason yksikköympyrän sisään säännöllisen n-kulmion, jossa yhtenä kärkipisteenä on 1.

Pelkästään edellä olevan yhtälön perusteella ei kompleksiluvun juurta siis voida määritellä yksikäsitteisesti funktioksi. Näin voidaan kuitenkin tehdä poistamalla kompleksitasosta seuraavanlainen joukko S:

• S on homeomorfinen avoimen puolisuoran kanssa
  • S on siis rajoittamaton ja risteämätön viiva, jolla on avoin pää
• origo ei kuulu S:ään, mutta on sen kasautumispiste
  • Myös äärettömyys on tavallaan kasautumispiste. Viiva siis yhdistää origon ja äärettömyyden.
• Esimerkki yksinkertaisesta valinnasta S:ksi on puolisuora $\{z\in ℂ|\mathrm{I}\mathrm{m}z=0,\mathrm{R}\mathrm{e}z<0\}$

Potenssin käänteisfunktio voidaan määritellä alueessa $ℂ-S$ n:llä eri tavalla. Bijektio voidaan saada aikaan kompleksitason alueesta, joka sisältää n:nnen osan pisteistä, koko kompleksitasoon, mutta kuvauksesta ei tule jatkuvaa.

Katso myös

• Alkeisfunktio
• Juurifunktio
• Imaginaariluku
• Neliöjuuri
• Kuutiojuuri

Lähteet

• Malline:Kirjaviite