Poisson-prosessi

Malline:Lähteetön Poisson-prosessi on stokastinen prosessi, joka voidaan tulkita toisistaan riippumattomasti sattuvien tapahtumien laskuriksi jatkuvassa ajassa. Poisson-prosessilla on läheinen yhteys Poisson-jakaumaan ja sillä on kaksi olennaista ominaisuutta:

• tapahtumien riippumattomuus, mikä tarkoittaa, että kahdelle erilliselle aikavälille sattuvien tapahtumien lukumäärät ovat riippumattomia satunnaismuuttujia, ja
• tapahtumien stationaarisuus, mikä tarkoittaa, että aikavälillä sattuvien tapahtumien lukumäärä riippuu vain välin pituudesta, ja on riippumaton välin sijainnista.

Nämä kaksi ominaisuutta kuuluvat vain Poisson-prosessille. Poisson-prosessilla on yksi parametri, joka on positiivinen reaaliluku. Parametria kutsutaan intensiteetiksi, joka tarkoittaa tapahtumien ilmaantumisen nopeutta.

Jos Poisson-prosessin intensiteetti on $\lambda >0$, niin aikavälillä $(t_1,t_2]$ sattuvien tapahtumien lukumäärä on $\mathrm{Poisson}(\lambda (t_2-t_1))$-jakautunut. Erityisesti, jos satunnaismuuttuja $N_t$ on kaikkien ajanhetkeen $t>0$ mennessä sattuneiden tapahtumien lukumäärä, niin $N_t$ on $\mathrm{Poisson}(\lambda t)$-jakautunut. Tapahtumien välinen aika on $\mathrm{Exp}(\lambda )$-jakautunut. $n$:nnen tapahtuman sattumishetki on $\mathrm{Gamma}(n,\lambda )$-jakautunut.

Esimerkki

Valtakunnalliseen puhelinpalveluun saapuvien puheluiden soittohetkiä voi mallintaa Poisson-prosessilla.

Tämä perustuu siihen, että mahdollisesti palveluun soittavien henkilöiden lukumäärä $n$ on hyvin suuri, mahdollisesti koko väestö. Jos tulkitaan, että todennäköisyys $p$, jolla henkilö soittaa palveluun vuorokauden aikana, on kaikille henkilöille ja kaikkina päivinä sama, niin vuorokauden aikana saapuvien puheluiden lukumäärä on $\mathrm{Bin}(n,p)$-jakautunut. Tätä jakaumaa voi approksimoida $\mathrm{Poisson}(np)$-jakaumalla.

Mallia voi perustella myös niin, että palveluun soittavat tekevät sen toisistaan tietämättä eli riippumattomasti.

Tämän mallin puute on se, että todellisuudessa puhelinpalveluun saapuvat soitot riippuvat vuorokaudenajasta ja viikonpäivästä, jolloin stationaarisuusehto ei toteudu. Tällöin yhtä tiettyä Poisson-prosessia voi käyttää mallintamaan korkeintaan muutaman tunnin aikana tulevia puheluita.

Katso myös

• Todennäköisyysjakauma