Tavallinen differentiaaliyhtälö

Tavallinen differentiaaliyhtälö on differentiaaliyhtälö, jossa on ainoastaan yksi muuttuja.

Määritelmä

Olkoon F muuttujan x funktio ja olkoon y=y(x) yhden muuttujan funktio. Tällöin yhtälöä

$F(x,y(x),y^{\prime }(x),\dots ,y^{(n-1)}(x))=y^{(n)}(x)$

kutsutaan tavalliseksi differentiaaliyhtälöksi, jonka kertaluku on n.

Eräiden yhtälöiden ratkaisuja

Separoituvat yhtälöt

Yhtälö	Ratkaisutapa	Ratkaisu
Ensimmäinen kertaluku, x ja y separoituvia $\begin{array}{cc}{P}_1(x)Q_1(y)+P_2(x)Q_2(y)\frac{dy}{dx}& =0\\ P_1(x)Q_1(y)dx+P_2(x)Q_2(y)dy& =0\end{array}$	Separointi (jakaminen tulolla P2Q1).	${\int }^x\frac{P_1(\lambda )}{P_2(\lambda )}d\lambda +{\int }^y\frac{Q_2(\lambda )}{Q_1(\lambda )}d\lambda =C$
Ensimmäinen kertaluku, x separoituva $\begin{array}{cc}\frac{dy}{dx}& =F(x)\\ dy& =F(x)dx\end{array}$	Integrointi.	$y={\int }^{x}F(\lambda )d\lambda +C$
Ensimmäinen kertaluku, y separoituva $\begin{array}{cc}\frac{dy}{dx}& =F(y)\\ dy& =F(y)dx\end{array}$	Separointi (jakaminen F:llä).	$x={\int }^y\frac{d\lambda }{F(\lambda )}+C$
Ensimmäinen kertaluku, x ja y separoituvia $\begin{array}{cc}P(y)\frac{dy}{dx}+Q(x)& =0\\ P(y)dy+Q(x)dx& =0\end{array}$	Integrointi.	${\int }^{y}P(\lambda )d\lambda +{\int }^{x}Q(\lambda )d\lambda =C$

Ensimmäisen kertaluvun yhtälöt

Yhtälö	Ratkaisutapa	Ratkaisu
Ensimmäinen kertaluku, homogeeninen $\frac{dy}{dx}=F\left(\frac{y}{x}\right)$	Sijoita y = ux ja separoi u ja x.	$\ln (Cx)={\int }^{y/x}\frac{d\lambda }{F(\lambda )-\lambda }$
Ensimmäinen kertaluku, separoituva $\begin{array}{cc}yM(xy)+xN(xy)\frac{dy}{dx}& =0\\ yM(xy)dx+xN(xy)dy& =0\end{array}$	Separointi (jakaminen xy:llä).	$\ln (Cx)={\int }^{xy}\frac{N(\lambda )d\lambda }{\lambda [N(\lambda )-M(\lambda )]}$ Jos N = M, ratkaisu on xy = C.
Eksakti, ensimmäinen kertaluku $\begin{array}{cc}M(x,y)\frac{dy}{dx}+N(x,y)& =0\\ M(x,y)dy+N(x,y)dx& =0\end{array}$ jossa $\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$	Integrointi.	$\begin{array}{cc}F(x,y)& ={\int }^{x}M(\lambda ,y)d\lambda +{\int }^{y}Y(\lambda )d\lambda \\ & ={\int }^{y}N(x,\lambda )d\lambda +{\int }^{x}X(\lambda )d\lambda =C\end{array}$ jossa $$Y(y)=N(x,y)-\frac{\partial }{\partial y}{\int }^{x}M(\lambda ,y)d\lambda$$ ja $$X(x)=M(x,y)-\frac{\partial }{\partial x}{\int }^{y}N(x,\lambda )d\lambda$$
Epäeksakti, ensimmäinen kertaluku $\begin{array}{cc}M(x,y)\frac{dy}{dx}+N(x,y)& =0\\ M(x,y)dy+N(x,y)dx& =0\end{array}$ jossa $\frac{\partial M}{\partial x}\ne \frac{\partial N}{\partial y}$	Kerroin μ(x, y), jolle $\frac{\partial (\mu M)}{\partial y}=\frac{\partial (\mu N)}{\partial x}$	Sopivalle μ(x, y) $\begin{array}{cc}F(x,y)=& {\int }^x\mu (\lambda ,y)M(\lambda ,y)d\lambda +{\int }^{y}Y(\lambda )d\lambda \\ =& {\int }^y\mu (x,\lambda )N(x,\lambda )d\lambda +{\int }^{x}X(\lambda )d\lambda =C\end{array}$ jossa $$Y(y)=N(x,y)-\frac{\partial }{\partial y}{\int }^x\mu (\lambda ,y)M(\lambda ,y)d\lambda$$ ja $$X(x)=M(x,y)-\frac{\partial }{\partial x}{\int }^y\mu (x,\lambda )N(x,\lambda )d\lambda$$

Toisen kertaluvun yhtälöt

Yhtälö	Ratkaisutapa	Ratkaisu
Toinen kertaluku $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=F(y)$	Kerro Malline:Nowrap, sijoita Malline:Nowrap ja integroi kahdesti.	$x=\pm {\int }^y\frac{d\lambda }{\sqrt{2{\int }^{\lambda }F(\epsilon )d\epsilon +C_1}}+C_2$

Lineaariset n:nnen kertaluvun yhtälöt

Yhtälö	Ratkaisutapa	Ratkaisu
Ensimmäinen kertaluku, lineaarinen, epähomogeeninen, kertoimet: $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$	Kerroin: $e^{{\int }^{x}P(\lambda )d\lambda }.$	$y=e^{-{\int }^{x}P(\lambda )d\lambda }[{\int }^x{e}^{{\int }^{\lambda }P(\epsilon )d\epsilon }Q(\lambda )d\lambda +C]$
Toinen kertaluku, lineaarinen, epähomogeeninen, kertoimet: $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+2p(x)\frac{dy}{dx}+(p(x{)}^2+p^{\prime }(x))y=q(x)$	Kerroin: $e^{{\int }^{x}P(\lambda )d\lambda }$	$y=e^{-{\int }^{x}P(\lambda )d\lambda }[{\int }^x({\int }^{\xi }{e}^{{\int }^{\lambda }P(\epsilon )d\epsilon }Q(\lambda )d\lambda )d\xi +C_{1}x+C_2]$
Toinen kertaluku, lineaarinen, epähomogeeninen, vakiokertoimet $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+b\frac{dy}{dx}+cy=r(x)$		$y=y_c+y_p$ Jos $b_2>4c$: $y_c=C_1{e}^{-\frac{x}{2}(b+\sqrt{b^2-4c})}+C_2{e}^{-\frac{x}{2}(b-\sqrt{b^2-4c})}$ Jos $b_2=4c$: $y_c=(C_{1}x+C_2)e^{-\frac{bx}{2}}$ Jos $b_2<4c$: $y_c=e^{-\frac{bx}{2}}[C_1\sin \left(x\frac{\sqrt{4c-b^2}}{2}\right)+C_2\cos \left(x\frac{\sqrt{4c-b^2}}{2}\right)]$
Kertaluku n, lineaarinen, epähomogeeninen, vakiokertoimet $\sum _{j=0}^n{b}_j\frac{d^{j}y}{d{x}^j}=r(x)$		$y=y_c+y_p$ $$y_c=\sum _{j=1}^n\left(\sum _{\ell =1}^{k_j}{C}_{j,\ell }{x}^{\ell -1}\right)e^{{\alpha }_{j}x}$$ jossa $$C_j{e}^{{\alpha }_{j}x}=C_j{e}^{{\chi }_{j}x}\cos ({\gamma }_{j}x+{\phi }_j)$$