Kuristusperiaate

Kuristusperiaate

Kuristusperiaate (myös kuristuslause) on analyysiin liittyvä lause funktion raja-arvon tai lukujonon raja-arvon määrittämiseksi: olkoot $b(x)$, $a(x)$ ja $c(x)$ määriteltyjä $d$:n lähellä siten, että

$\underset{x\to d}{\lim }b(x)=\underset{x\to d}{\lim }c(x)=A$ ja

$b(x)\le a(x)\le c(x)$ pätee $d$:n lähellä.

Tällöin $\underset{x\to d}{\lim }a(x)=A$.

Todistus

Todistetaan tapauksessa $x\to d_{-}$, tapaus $x\to d_{+}$ todistetaan vastaavalla tavalla (jos funktiot ovat lauseen ehtojen mukaisesti määriteltyjä, kun $x>d$).

Olkoon $ϵ>0$. Oletuksista seuraa, että on olemassa ${\delta }_1>0$ siten, että $|b(x)-A|<ϵ$, kun $d-{\delta }_1<x<d$. Samaten on olemassa ${\delta }_2>0$ siten, että $|c(x)-A|<ϵ$, kun $d-{\delta }_2<x<d$.

Valitaan $\delta :=\min \{{\delta }_1,{\delta }_2\}$. Nyt $A-ϵ<b(x)\le a(x)\le c(x)<A+ϵ$, kun $d-\delta <x<d$, joten tällöin pätee $A-ϵ<a(x)<A+ϵ$. Tämä on yhtäpitävää epäyhtälön $|a(x)-A|<ϵ$ kanssa.

Täten $\underset{x\to d_{-}}{\lim }a(x)=A$. $◻$

Esimerkkejä

$x^2\sin (\frac{1}{x})$ ei ole määritelty, kun $x=0$.

Sinifunktion ominaisuuksista tiedetään, että $-1\le \sin (\frac{1}{x})\le 1$, kun $x\ne 0$, joten $-x^2\le x^2\sin (\frac{1}{x})\le x^2$. Koska $\underset{x\to 0}{\lim }-x^2=0$ ja $\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2=0$, niin kuristusperiaatteen nojalla $\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2\sin (\frac{1}{x})=0$.

Aiheesta muualla

• Raja-arvon kuristaminen