Reunajakauma

Kahden normaalisti jakautuneen satunnaismuuttujan yhteisjakauman (vihreä) reunajakaumien kuvaajat (punainen, sininen).

Reunajakauma on todennäköisyyslaskennassa usean satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumasta muodostettu rajoitettu jakauma, jossa varioi vain yksi satunnaismuuttuja, tai osa satunnaismuuttujista, ja samalla huomioidaan muiden satunnaismuuttujien yhteisvaikutus todennäköisyyteen. Reunajakaumat ovat erityisen hyödyllisiä kaksiulotteisissa yhteisjakaumissa, jossa reunajakaumiin jää jäljelle vain toinen satunnaismuuttuja. Niillä yritetään pääasiassa helpottaa yhteisjakauman toiminnan ymmärtämistä, mikä toimii hyvin riippumattomien satunnaismuuttujien tapauksessa.

Kaksiulotteisen yhteisjakauman reunajakaumat

Todennäköisyysfunktioilla

Kaksiulotteinen yhteisjakauma muodostuu kahdesta satunnaismuuttujasta $X$ ja $Y$, jotka muodostavat järjestetyn parin $(X,Y).$ Diskreetin yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktion arvo annetuilla arvoilla $(x,y)$ merkitään

$P(X=x\text{ ja }Y=y)=f_{XY}(x,y)$

ja jatkuvalla yhteisjakauman tiheysfunktiolla

$f_{XY}(x,y)$

olevalla reaaliarvoisella lausekkeella.

Reunajakaumia on kaksi, koska yksi satunnaismuuttuja voidaan "jättää pois" kahdella eri tavalla. Diskreetillä satunnaismuuttujaparilla reunajakaumat muodostetaan ensimmäisen satunnaismuuttujan $X$ suhteen

$f_X(x)=P(X=x)=\sum _{y\in Y}{f}_{XY}(x,y)$

tai toisen satunnaismuuttujan $Y$ suhteen

$f_Y(y)=P(Y=y)=\sum _{x\in X}{f}_{XY}(x,y).$

Jatkuvilla satunnaismuuttujaparilla muodostetaan vastaavasti

$f_X(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_{XY}(x,y)dy$

tai

$f_Y(y)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_{XY}(x,y)dx.$

Kertymäfunktioilla

Kaksiulotteinen yhteisjakauman $(X,Y)$ kertymäfunktiot muodostetaan todennäköisyysfunktioista summan tai määrätyn integraalin avulla. Tässä esitetään ylhäältä rajoitettujen kertymäfunktioiden muodostustavat. Diskreetin satunnaismuuttujaparin yhteisjakauman kertymäfunktio arvojen $(x,y)$ alla merkitään ja lasketaan

$P(X\le x\text{ ja }Y\le y)=F_{XY}(x,y)=\sum _{X\le x}\sum _{Y\le y}{f}_{XY}(x,y)$

ja vastaavasti jatkuvan satunnaismuuttujaparin yhteisjakauman kertymäfunktio merkitään ja lasketaan

$P(X\le x\text{ ja }Y\le y)=F_{XY}(x,y)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{y}{\int }}{f}_{XY}(x,y)dydx.$

Näistä muodostetut reunajakaumien kertymäfunktiot ovat diskreettisillä satunnaismuuttujilla vastaavasti

$P(X\le x)=F_X(x)=\sum _{X\le x}\sum _{y\in Y}{f}_{XY}(x,y)$

sekä

$P(Y\le y)=F_Y(y)=\sum _{X\in x}\sum _{Y\le y}{f}_{XY}(x,y)$

ja jatkuvilla satunnaismuuttujilla

$P(X\le x)=F_X(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_{XY}(x,y)dydx$

sekä

$P(Y\le y)=F_Y(y)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{y}{\int }}{f}_{XY}(x,y)dydx.$

Esimerkki kahdella satunnaismuuttujalla

Kaksi diskreettiä satunnaismuuttujaa muodostavat yhteisjakauman $f_{XY}(x,y)$. Satunnaismuuttujalla $X$ on vain neljä arvoa $\{x_1,x_2,x_3\text{ ja }{x}_4\},$ joita ei mainita tässä. Vastaavasti satunnaismuuttujalla $Y$ on myös neljä arvoa $\{y_1,y_2,y_3\text{ ja }{y}_4\}.$ Jokaista arvoparia $(x_i,y_j)$ vastaa pistetodennäköisyys $f_{XY}(x_i,y_j),$ jollainen on esimerkiksi $f_{XY}(x_1,y_4)=\frac{8}{32}.$ Kaikki todennäköisyydet on esitetty oheisessa taulukossa.

fxy(x,y)	x1	x2	x3	x4	fy(y)↓
y1	4⁄32	2⁄32	1⁄32	1⁄32	8⁄32
y2	2⁄32	4⁄32	1⁄32	1⁄32	8⁄32
y3	2⁄32	2⁄32	2⁄32	2⁄32	8⁄32
y4	8⁄32	0	0	0	8⁄32
fx(x) →	16⁄32	8⁄32	4⁄32	4⁄32	32⁄32
Yhteis- ja reunajakaumat järjestetylle diskreetille satunnais- muuttujaparille. Yhteisjakauman pistetodennäköisyydet sijaitsevat keskustan 4×4-alueella, ja reunajakaumien todennäköisyydet sijaitsevat alimmalla vaakarivillä ja oikeanpuoleisessa pystysarakkeessa.

Yhteisjakaumalla $f_{XY}(x,y)$ on kaksi reunajakaumaa $f_X(x)$ ja $f_Y(y)$. Reunajakaumat muodostetaan laskemalla kullekin satunnaismuuttujan arvoille yhteistodennäköisyydet. Esimerkiksi $f_X(x_2)$ lasketaan

$f_X(x_2)=f_{XY}(x_2,y_1)+f_{XY}(x_2,y_2)+f_{XY}(x_2,y_3)+f_{XY}(x_2,y_4)=\frac{2}{32}+\frac{4}{32}+\frac{2}{32}+0=\frac{8}{32},$

ja se on sijoitettu taulukkoon satunnaismuuttujan $X$ reunajakauman omalle riville alareunaan. Oikeassa pystysarakkeessa sijaitsevat satunnaismuuttujan $Y$ reunajakauman todennäköisyydet.

Moniulotteiset reunajakaumat

Kolmiulotteiset yhteisjakaumien todennäköisyysfunktiot satunnaismuuttujille $X$, $Y$ ja $Z$ ovat muotoa $f_{XYZ}(x,y,z)$ ja kertymäfunktioille $F_{XYZ}(x,y,z).$ Näiden reunajakaumia voidaan muodostaa "jättämällä pois" kaksi satunnaismuuttujaa laskemalla niiden vaikutukset todennäköisyyksiin mukaan jäljelle jäävän satunnaismuuttujan vaihteluihin. Silloin saadaan kolme reunajakaumaa: $f_X(x)$, $f_Y(y)$ ja $f_Z(z).$

Näiden lisäksi voidaan muodostaa vielä kolme reunajakaumaa "jättämällä pois" vain yksi satunnaismuuttuja. Näin muodostettujen reunajakaumien todennäköisyysfunktiot olisivat $f_{XY}(x,y)$, $f_{YZ}(y,z)$ ja $f_{XZ}(x,z).$

Kun todennäköisyysjakaumien ulottuvuudet kasvavat, lisääntyvät myös eri mahdollisten reunajakaumien lukumäärät.