Funktion epäoleellinen raja-arvo

Funktion epäoleellinen raja-arvo on kuvaajassa olemassa, kun x lähestyy plus ääretöntä, koska funktio mahtuu lopulta epsilon-putkeen.

Funktion epäoleellinen raja-arvo on matematiikassa analyysin ja differentiaali- ja integraalilaskennan peruskäsitteitä. Erotukseksi funktion raja-arvon yläkäsitteestä, funktion epäoleellisella raja-arvolla tarkoitetaan jatkuvien funktioiden raja-arvolaskentaa, jossa tutkitaan funktion käyttäytymistä kaukana origosta. Usein sanotaan, että "tutkitaan funktion käyttäytymistä äärettömässä tai miinus äärettömässä". Jos epäoleellinen raja-arvo on olemassa, sanotaan että funktio suppenee (muutoin hajaantuu).

Johdanto

Rationaalilausekkeen epäoleelliset raja-arvot

Funktion $\frac{1}{x}$ kuvaaja on hyperbeli, jonka käyrä ulottuu kuvaajan ulkopuolelle. Funktion määrittelyalue katkeaa kohdassa x = 0, mikä sijaitsee origossa.

Potenssifunktiot, joiden asteluku on pariton, käyttäytyvät äärettömässä ja miinus äärettömässä samalla tavalla.

Yksinkertaisin rationaalifunktio on

$f(x)=\frac{1}{x},$

joka on määritelty kaikilla reaalilukuarvoilla nollaa lukuunottamatta (sillä nollalla ei voi jakaa). Koordinaatistossa näkyy vain osa funktion kuvaajasta, koska sen käyrä katoaa kuviosta sen ylä- ja alapuolelle sekä molemmille sivuille. Epäoleellisella raja-arvolla voidaan selvittää, minne käyrä muualla piirtyy. Tähän tarvitaan neljä epäoleellista raja-arvoa.

Origon oikealla puolella funktio saa positiivisia arvoja. Kuvaajan käyrän perusteella funktio on vähenevä, sillä funktion arvot pienenevät muuttujan x arvojen kasvaessa. Ne eivät kuitenkaan muutu negatiivisiksi, vaan pysyvät positiivisina lähestyen nollaa. Nolla-arvoa ei kuitenkaan saavuteta tietyssä pisteessä, mutta valitsemalla yhä suurempia ja suurempia muuttujan x arvoja päästään niin lähelle nollaa kuin vain halutaan. Tässä mielessä voidaan sanoa, että kun muuttujaa x kasvatetaan yli kaikkien rajojen, suppenee funktion raja-arvoksi nolla. Tämä on eräs tapa kuvailla epäoleellinen raja-arvo. Silloin voidaan sanoa, että äärettömässä funktio suppenee tai tulee nollaksi. Vastaavalla tavalla voidaan todeta, että myös vasemmalla puolella lukusuoraa voidaan käydä samanlainen prosessi. Silloin funktion negatiiviset arvot lähestyvät epäoleellisesti nollaa, kun muuttuja x pienenee alle kaikkien rajojen. Silloin voidaan sanoa, että miinus äärettömässä funktiosta tulee nolla.

Epäoleelliseksi tarkasteluksi voidaan joskus katsoa myös raja-arvoa määrittelyalueen puuttuvassa pisteessä. Edellistä funktiota ei voi laskea nollassa, koska se aiheuttaisi nollalla jakamisen. Kun raja-arvoa lasketaan lähestymällä nollaa oikealta eli positiivisilla arvoilla, kasvaa funktion arvot yli kaikkien rajojen eli raja-arvo hajaantuu plus äärettömäksi. Vastaavasti, kun nollaa lähestytään negatiiviselta puolelta, hajaantuu raja-arvo miinus äärettömäksi.

Yksinkertainen polynomi on potenssifunktio

$f(x)=x^5,$

joka on määritelty kaikilla reaalilukuarvoilla, ja sen kuvaajasta näkyy koordinaatistossa vain osa. Osoittautuu, että mitä suuremmilla muuttujan x arvoilla funktion arvoja lasketaan, sitä suuremmaksi funktion arvot kasvavat. Samoin, mitä pienemmillä muuttujan arvoilla funktion arvoja lasketaan, sitä pienemmiksi ne tulevat. Kummassakin tapauksessa funktion arvot hajaantuvat. Ensin mainitussa tilanteessa sanotaan myös, että funktion arvo on ääretön, kun muuttuja x on ääretön taikka äärettömässä funktio tulee äärettömäksi. Toisessa tilanteessa funktio on miinus ääretön, kun x on miinus ääretön taikka miinus äärettömässä funktiosta tulee miinus ääretön.

Suppeneminen ja hajaantuminen

Funktion epäoleellisella raja-arvolla tarkoitetaan funktion arvojen tutkimista, kun muuttujan arvo joko kasvaa tai vähenee rajatta. Tällöin sanotaan, että muuttuja on plus ääretön tai miinus ääretön. Kyseessä ei ole enää funktion käyttäytymisestä yhden pisteen lähiympäristössä, vaan sitä käytetään tutkittaessa funktion käyttäytymistä origosta katsottuna "kaukaisilla" arvoilla ja hyvin pitkillä väleillä. Tarkastelutapa poikkeaa siten tavallisesta funktion raja-arvosta.

Kun muuttujan arvo kasvaa rajatta ja funktion arvot suppenevat, se merkitään

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=L.$

Funktion lauseke lasketaan tällöin yhä suuremmilla ja suuremmilla arvoilla (voidaan sanoa "kun x lähestyy plus ääretöntä"). Kun muuttuja vähenee rajatta ja funktion arvot suppenevat, se merkitään

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=L.$

Funktion lauseke lasketaan yhä pienemmillä (negatiivisilla) arvoilla (voidaan sanoa "kun x lähestyy miinus ääretöntä"). Tällöin sanotaan, että "funktiolla on positiivisessa / negatiivisessa äärettömyydessä raja-arvo L".

Kun funktion arvot lähestyvät edellä kerrotulla tavalla lukua L, voidaan kuvaajaan piirtää vaakasuora $y=L$. Tätä suoraa kutsutaan funktion kuvaajan asymptootiksi.

Jos funktion arvot hajaantuvat eikä raja-arvoa ole olemassa, se merkitään esimerkiksi

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty },$

jos tulos kasvaa rajatta ja

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty },$

jos tulos vähenee rajatta.

Funktion arvot hajaantuvat, jos funktion arvot eivät ole rajoitettuja. Jos vähenevä funktio ei ole rajoitettu alhaalta, tulee funktion epäoleelliseksi raja-arvoksi miinus ääretön. Ellei kasvava funktio ole rajoitettu ylhäältä, tulee funktion raja-arvoksi ääretön.

Hajaantuvan funktion kulkua voi "ohjata" vino asymptoottisuora tai -käyrä. Asymptootin selvittäminen mallintaa funktion kuvaajan kulkua selvemmin.

Määritelmä

Funktion epäoleellinen raja-arvo, josta tässä otetaan esimerkkinä

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=L,$

määritellään eksaktisti epsilon-M-tekniikalla

$|f(x)-L|<ϵ\text{, kun }x>M_{ϵ},$

eli funktion arvo $f(x)$ on $ϵ$:n etäisyydellä raja-arvosta L, kun muuttuja x on ylittänyt rajan $M_{ϵ}$. Intuitiivisesta voidaan ajatella, että funktion arvot osuvat riittävän lähelle raja-arvoa L, kunhan muuttuja x kasvatetaan tarpeeksi suureksi.

Esimerkki suppenemisesta ja hajaantumisesta

Funktion $f(x)=\frac{1}{x}$ epäoleellinen suppeneminen kohti arvoa nolla voidaan osoittaa seuraavasti. Kun $x\ge 1$, on aina $\frac{1}{x}<x$. Valittiinpa luku $ϵ>0$ kuinka pieneksi tahansa, löytyy lopulta aina sellainen muuttujan x raja $x\ge M>1$, että

$|\frac{1}{x}-0|=\frac{1}{|x|}\le \frac{1}{M}<ϵ,$

missä $M>\frac{1}{ϵ}$. Näin ollen funktio $f(x)=\frac{1}{x}$ suppenee nollaksi, kun x kasvaa rajatta.

Funktion $f(x)=x^5$ epäoleellinen hajaantuminen äärettömyydessä voidaan osoittaa seuraavasti. Kun $x\ge 1$, on aina $x^5\ge x$, joten valittiinpa luku $M>1$ miten suureksi tahansa, on $x^5>M$ heti, kun $x>M$. Siten funktio $f(x)=x^5$ hajaantuu äärettömäksi, kun muuttuja x kasvaa yli kaikkien rajojen.

Esimerkkejä alkeisfunktioista

Alkeisfunktio $f(x)$	Esimerkkejä	$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$	$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)$
potenssifunktio $x^n$, missä n on pariton	$x,x^3,x^5,\dots$	$-\mathrm{\infty }$	$+\mathrm{\infty }$
potenssifunktio $x^n$, missä n on parillinen	$x^2,x^4,x^6,\dots$	$+\mathrm{\infty }$	$+\mathrm{\infty }$
juurifunktio $\sqrt[n]{x}$, missä n on pariton	$\sqrt[3]{x},\sqrt[5]{x},\dots$	$-\mathrm{\infty }$	$+\mathrm{\infty }$
juurifunktio $\sqrt[n]{x}$, missä n on parillinen	$\sqrt{x},\sqrt[4]{x},\dots$	$\text{ei määritelty}$	$+\mathrm{\infty }$
eksponenttifunktio $a^x$, missä $a>1$	$2^x,e^x,10^x,\dots$	$0$	$+\mathrm{\infty }$
eksponenttifunktio $a^x$, missä $a=1$	$1^x$	$1$	$1$
eksponenttifunktio $a^x$, missä $0<a<1$	$0,5^x,2^{-x},\dots$	$+\mathrm{\infty }$	$0$
logaritmifunktio ${\log }_{b}x$, missä $b>1$	${\log }_{2}x,\ln x,\lg x,\dots$	$\text{ei määritelty}$	$+\mathrm{\infty }$

Epäoleelliseen raja-arvoon liittyviä sääntöjä

Esimerkki

Esimerkiksi polynomin $f(x)=x^3+x^2+x+1$ käyttäytyminen äärettömyyksissä voidaan päätellä yksittäisten potenssien käyttäytymisestä. Kun lasketaan

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(x^3+x^2+x+1)$

ja huomioidaan, että $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^3=+\mathrm{\infty }$, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^2=+\mathrm{\infty }$, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }x=+\mathrm{\infty }$ ja $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }1=1$, saadaan

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(x^3+x^2+x+1)=\mathrm{\infty }+\mathrm{\infty }+\mathrm{\infty }+1=3\cdot \mathrm{\infty }+1=\mathrm{\infty }+1=\mathrm{\infty }.$

Polynomi hajaantuu siten kohti $+\mathrm{\infty }$.

Äärettömän laskusääntöjä epäoleellisessa raja-arvossa

Seuraavat merkinnät tarkoittavat raja-arvojen tuloksia. Jos funktion arvot hajaantuvat kohti plus ääretöntä, merkitään sen tulosta $\mathrm{\infty }$, jos ne hajaantuvat kohti miinus ääretöntä, niin se merkitään $-\mathrm{\infty }$. Mikäli funktio suppenee kohti reaalilukua, merkitään se positiivisena $p$ ja negatiivisena $n$. Tilanteissa, jossa raja-arvon merkillä ei ole väliä, se merkitään $a$. Aluksi on lueteltu tapauksia, jossa lopputulos voidaan päätellä.

Yhteen- ja vähennyslaskut	Kertolaskut	Jakolaskut	Potenssit
$\mathrm{\infty }+\mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }\cdot \mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }$	$\frac{a}{\mathrm{\infty }}=0$	${\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}=\mathrm{\infty }$
$-\mathrm{\infty }+(-\mathrm{\infty })=-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }\cdot (-\mathrm{\infty })=(-\mathrm{\infty })\cdot \mathrm{\infty }=-\mathrm{\infty }$	$\frac{a}{-\mathrm{\infty }}=0$	${\mathrm{\infty }}^{-\mathrm{\infty }}=0$
$a+\mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }+a=\mathrm{\infty }$	$-\mathrm{\infty }\cdot (-\mathrm{\infty })=\mathrm{\infty }$		$a^{\mathrm{\infty }}=\mathrm{\infty }$, kun $a>1$
$-\mathrm{\infty }+a=a-\mathrm{\infty }=-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }\cdot p=p\cdot \mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }$		$a^{\mathrm{\infty }}=0$, kun $0<a<1$
	$\mathrm{\infty }\cdot n=n\cdot \mathrm{\infty }=-\mathrm{\infty }$		$a^{-\mathrm{\infty }}=0$, kun $a>1$
	$-\mathrm{\infty }\cdot p=p\cdot (-\mathrm{\infty })=-\mathrm{\infty }$		$a^{-\mathrm{\infty }}=\mathrm{\infty }$, kun $0<a<1$
	$-\mathrm{\infty }\cdot n=n\cdot (-\mathrm{\infty })=\mathrm{\infty }$		${\mathrm{\infty }}^p=\mathrm{\infty }$
			${\mathrm{\infty }}^n=0$

Seuraavien laskutoimitusten tulosta ei pystytä suoralta kädeltä määrittämään:

$\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty },\frac{\pm \mathrm{\infty }}{\pm \mathrm{\infty }},0\cdot (\pm \mathrm{\infty }),(\pm \mathrm{\infty }{)}^0,0^{\pm \mathrm{\infty }},1^{\pm \mathrm{\infty }}ja(-\mathrm{\infty }{)}^{\pm \mathrm{\infty }}.$

Katso myös

• Funktion asymptootit
• Epäoleellinen integraali

Aiheesta muualla

• Jyväskylän yliopisto: Epäoleellinen raja-arvo, katsottu 4.10.2014
• Internetix: Raja-arvo käsitteen laajennus, Epäoleelliset raja-arvot, katsottu 4.10.2014