Itseiskiihtyvyys

Itseiskiihtyvyys (ominaiskiihtyvyys, engl. proper acceleration) on suhteellisuusteorian suure, jolla kuvataan hiukkaseen kiinnitetyn kiihtyvyysanturin mittaamaa ja hiukkasen kokemaa fysikaalista kiihtyvyyttä. Itseiskiihtyvyyden suuruus, eli vektorin normi, on Lorentz-invariantti skalaari ja siten riippumaton havaitsijan koordinaatistosta. Kiihtyvää liikettä ja havaitsijoita voidaan käsitellä täsmällisesti erityisellä suhteellisuusteoriallakin ilman siirtymistä yleiseen suhteellisuusteoriaan, mutta yleisen suhteellisuusteorian muotoilu antaa täydentävän kineettisen kuvauksen ekvivalenssiperiaatteesta ja itseiskiihtyvyyden osuudesta suhteellisuusteorioissa.

Koordinaatistokiihtyvyys (engl. coordinate acceleration) määritellään jonkin valitun koordinaatiston suhteen. Kun hiukkaseen ei vaikuta ulkoisia vuorovaikutuksia (Newtonin I laki), on hiukkasen itseiskiihtyvyys nolla, vaikka jonkin ei-inertiaalikoordinaatiston suhteen hiukkasella olisikin koordinaatistokiihtyvyys.

Kun kiihtyvään hiukkaseen kiinnitetään inertiaali, jossa kullakin ajanhetkellä hiukkasen hetkellinen nopeus on nolla (hetkellisesti mukana liikkuva inertiaali, hetkellinen lepokoordinaatisto), on itseiskiihtyvyys sama kuin tuon hetkellisen inertiaalin koordinaatistokiihtyvyys.

Yleisen suhteellisuusteorian vapaassa pudotuksessa havaitsijan itseiskiihtyvyys on nolla, koska liikerata seuraa aika-avaruuden geodeesia. Jos ulkoinen vuorovaikutus poikkeuttaa havaitsijan inertiaalisesta liikkeestä, kokee havaitsija itseiskiihtyvyyden. Gravitaatiossa vapaassa pudotuksessa kiihtyvyysanturi ei siis näytä kiihtyvyyttä. Toisaalta maan pinnalla havaitsijan liikerata poikkeaa geodeesilta, jolloin kiihtyvyysanturin lukema, itseiskiihtyvyys, poikkeaa nollasta.

Nopeus erityisessä suhteellisuusteoriassa

Suhteellisuusteoriassa hiukkaseen liitettäviä suureita ovat mm. skalaarit sekä kolmi- ja nelivektorit. Merkitään kolmiulotteisia vektoreita $𝐱,𝐯,𝐮,𝐚$ ja neliulotteisia $𝐗,𝐕,𝐔,𝐀$.

Erityisessä suhteellisuusteoriassa hiukkasen liikerataa kuvataan maailmanviivalla, joka on Minkowskin avaruuden parametrisoitu käyrä. Hiukkaseen kiinnitetty kello näyttää itseisaikaa (ominaisaika, engl. proper time) $\tau$. Valitaan jokin inertiaali, ja otetaan kaksi lähekkäistä pistettä (aika-avaruuden tapahtumaa) maailmanviivalta. Merkitään koordinaattien erotusta nelivektorilla $𝐝X=(cdt,dx,dy,dz)$, jonka pituuden neliö $(ds{)}^2=c^2(dt{)}^2-(dx{)}^2-(dy{)}^2-(dz{)}^2$ on Lorentz-invariantti intervalli. Jos koordinaatistoksi valitaan hetkellinen lepokoordinaatisto, jossa $dx=dy=dz=0$, niin $(ds{)}^2=c^2(d\tau {)}^2$. Tästä nähdään, että $d\tau$ on Lorentz-invariantti eli kaikille havaitsijoille sama.

Nopeus $𝐯=\frac{d𝐱}{dt}$ määritellään paikan derivaattana koordinaatistoajan suhteen, ja kiihtyvyys $𝐚=\frac{d𝐯}{dt}=\frac{d^2𝐱}{d{t}^2}$ nopeuden derivaattana koordinaatistoajan suhteen .

Lorentz-kerroin on

$\gamma =\frac{dt}{d\tau }=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

Nelinopeus määritellään nelipaikkavektorin derivaattana itseisajan suhteen:

$𝐔=\frac{d𝐗}{d\tau }$, missä $𝐗$ on paikkavektori valitussa inertiaalissa.

Itseisnopeus (ominaisnopeus, engl. proper velocity, tunnus usein myös w tai η) poikkeaa nopeudesta $𝐯$ siten, että se määritellään paikan derivaattana hiukkasen itseisajan suhteen:

$𝐮=\frac{d𝐱}{d\tau }$

Tässä etäisyys mitataan valitussa inertiaalissa ja aika hiukkaseen kiinnitetyllä kellolla. Mittareferenssien erosta johtuen määritelmä vaikuttaa epäkäytännölliseltä, mutta se voidaan ajatella kellojen synkronoinnista vapaaksi nopeudeksi.

Itseisnopeus saadaan ilmaistua koordinaatistoajan suhteen käyttämällä Lorentz-kerrointa $\frac{dt}{d\tau }=\gamma$, jolloin

$𝐮=\frac{d𝐱}{d\tau }=\gamma 𝐯$

Itseisnopeus ei sellaisenaan ole Lorentz-invariantti.

Nelinopeus voidaan ilmaista komponenttimuodossa $𝐔=(\gamma c,𝐮)=(\gamma c,\gamma 𝐯)$. Vektori osoittaa maailmanviivan tangentin suuntaan, ja sen pituuden neliö on vakio ||U||² = U ⋅ U = c². Vektorin pituus on siis aina vakio, ja geometrisesti se on maailmanviivan yksikkötangenttivektori.

Kiihtyvyys erityisessä suhteellisuusteoriassa

Nelikiihtyvyys määritellään nelinopeuden derivaattana itseisajan suhteen:

$𝐀=\frac{d𝐔}{d\tau }$

Sama komponenttimuodossa:

$𝐀=\frac{d𝐔}{d\tau }=(\gamma \dot{\gamma }c,{\gamma }^2𝐚+\gamma \dot{\gamma }𝐯)=({\gamma }^4\frac{𝐚\cdot 𝐯}{c},{\gamma }^2𝐚+{\gamma }^4\frac{(𝐚\cdot 𝐯)}{c^2}𝐯)$,

missä $\gamma$ on Lorentz-kerroin nopeudella $|𝐯|=v$ ja vastaavasti $\dot{\gamma }$ on Lorentz-kertoimen derivaatta koordinaatistoajan t suhteen:

$\dot{\gamma }=\frac{d\gamma }{dt}=\frac{𝐚\mathbf{\cdot }𝐯}{c^2}{\gamma }^3=\frac{𝐚\mathbf{\cdot }𝐯}{c^2}\frac{1}{{(1-\frac{v^2}{c^2})}^{3/2}}$.

Erikoinen ominaisuus on se, että nopeus $𝐯$ ja kiihtyvyys $𝐚$ (kolmivektoreita) esiintyvät nelikiihtyvyydessä sekä aika- että avaruuskomponenteissa.

Edellinen nelikiihtyvyyden kaava on yleispätevä, ja sovellettavissa myös pyörimisliikkeeseen tai vastaaviin tilanteisiin. Voidaan osoittaa, että nelikiihtyvyys $𝐀$ ja nelinopeus $𝐔$ ovat aina ortogonaalisia. Geometrisesti $𝐀$ on maailmanviivan kaarevuusvektori, joka kuvaa sen poikkeamista suorasta viivasta.

Erikoistapauksessa, jossa $𝐯=(v,0,0)$ ja $𝐚=(a,0,0)$, eli hiukkasen kiihtyessä x-akselin suunnassa, saadaan

$𝐀=({\gamma }^4\frac{va}{c},{\gamma }^{4}a,0,0)$.

Hetkellisesti mukana liikkuvassa lepokoordinaatistossa $𝐯=0,\gamma =1$ja $\dot{\gamma }=0$, jolloin

$𝐀=(0,a,0,0)$.

Nelikiihtyvyys on nolla, kun lepokoordinaatistossa kolmikiihtyvyys on nolla.

Itseiskiihtyvyys

Nelikiihtyvyyteen liittyvä Lorentz-invariantti suure on skalaaritulo $𝐀\mathbf{\cdot }𝐀=c^2{\left(\frac{d\gamma }{d\tau }\right)}^2-{\left(\frac{d𝐮}{d\tau }\right)}^2$.

Hyödynnetään kolmea kaavaa

$\frac{d\gamma }{d\tau }={\gamma }^4\frac{𝐯\mathbf{\cdot }𝐚}{c^2}$ ,

$\frac{d𝐮}{d\tau }=\frac{d\gamma }{d\tau }𝐯+\gamma \frac{d𝐯}{d\tau }={\gamma }^4\left(\frac{𝐯\cdot 𝐚}{c^2}\right)𝐯+{\gamma }^2𝐚$ ja

$\frac{1}{{\gamma }^2}=1-\frac{v^2}{c^2}$

siten, että merkitään $v_{\parallel }$nopeuden $𝐯$ sitä komponenttia, joka on yhdensuuntainen kiihtyvyydelle $𝐚$, ja vastaavasti kohtisuoraa komponenttia $v_{\perp }$, jolloin skalaaritulo $𝐯\mathbf{\cdot }𝐚=v_{\parallel }a$.

$\begin{array}{cc}𝐀\cdot 𝐀& ={\gamma }^8\frac{v_{\parallel }^2{a}^2}{c^2}-{\gamma }^8\left(\frac{v_{\parallel }^2{a}^2}{c^2}\right)\left(\frac{v^2}{c^2}\right)-2{\gamma }^6\frac{v_{\parallel }^2{a}^2}{c^2}-{\gamma }^4{a}^2\\ & ={\gamma }^8\frac{v_{\parallel }^2{a}^2}{c^2}(1-\frac{v^2}{c^2})-2{\gamma }^6\frac{v_{\parallel }^2{a}^2}{c^2}-{\gamma }^4{a}^2\\ & ={\gamma }^6\frac{v_{\parallel }^2{a}^2}{c^2}-2{\gamma }^6\frac{v_{\parallel }^2{a}^2}{c^2}-{\gamma }^4{a}^2\\ & =-{\gamma }^6\frac{v_{\parallel }^2{a}^2}{c^2}-{\gamma }^6{a}^2(1-\frac{v_{\parallel }^2}{c^2}-\frac{v_{\perp }^2}{c^2})\\ & =-\frac{{\gamma }^6}{{\gamma }_{\perp }^2}{a}^2,\end{array}$

missä ${\gamma }_{\perp }=\frac{1}{\sqrt{1-v_{\perp }^2/c^2}}.$

Tuloksesta $𝐀\cdot 𝐀=-\frac{{\gamma }^6}{{\gamma }_{\perp }^2}{a}^2$nähdään, että skalaaritulo on aina negatiivinen.

Määritellään itseiskiihtyvyysvektori $\mathit{\alpha }$ seuraavasti:

$\mathit{\alpha }=\frac{{\gamma }^3}{{\gamma }_{\perp }}𝐚=\frac{{\gamma }^3}{{\gamma }_{\perp }}\frac{d𝐯}{dt}.$

Nyt itseiskiihtyvyysvektorin pituuden neliöksi saadaan $||\mathit{\alpha }|{|}^2=-𝐀\cdot 𝐀$, joka on selvästi Lorentz-invariantti ja kaikille havaitsijoille sama. Nelikiihtyvyys $𝐀$ kuvaa geometrisesti maailmanviivan poikkeamista suorasta viivasta, joten tämän avulla määritelty itseiskiihtyvyys kuvaa hiukkasen "tuntemaa" kiihtyvyyttä sen liikkuessa maailmanviivaansa pitkin ja siirtyessään "hetkellisestä lepokoordinaatistosta seuraavaan".

Kun hiukkasen nopeus $𝐯$ ja kiihtyvyys $𝐚$ ovat yhdensuuntaisia, itseiskiihtyvyys on

$\mathit{\alpha }={\gamma }^3\frac{d𝐯}{dt}={\gamma }^3𝐚=\frac{d𝐮}{dt}.$

Tässä itseiskiihtyvyys on itseisnopeuden derivaatta koordinaatistoajan (ei itseisajan) suhteen. Lineaariselle kiihtyvyydelle pätee itseiskiihtyvyyden ja koordinaatistokiihtyvyyden välillä $\mathit{\alpha }={\gamma }^3𝐚.$

Nopeuden ja kiihtyvyyden Lorentz-invariantteja skalaareja ovat

${𝐔}^2=c^2$ja ${𝐀}^2=-{\alpha }^2$.

Massattomat valonnopeudella liikkuvat hiukkaset?

Valonnopeudella liikkuvalle hiukkaselle itseiskiihtyvyys on määrittelemätön.

Vastaavasti relativistisessa kvanttielektrodynamiikan teoriassa (QED) hiukkanen on olemassa hiukkasena emissiossa ja absorptiossa, mutta valonnopeudessa aaltopakettina ilman määriteltyä kulkureittiä.