Patokaava

Thomsonin pato, joita Suomessa on käytetty ojien virtaamamittauksissa.

Patokaava on fysikaalinen lauseke, jolla voidaan arvioida tietyntyyppisen padon läpi kulkevan nesteen (yleensä veden) virtaamaa Q yläpuolisen altaan vedenkorkeuden h funktiona. Patokaavoja on useita erilaisia, ja niihin sisältyy yleensä semiempiirisiä korjausparametreja, jotka ottavat huomioon pintajännitysten vaikutuksen sekä vesisuihkun kapenemisen padon suulla (ennen niin sanottua vena contracta -pistettä).

Virtaaman dimensio on [L³ T^-1], ja sen lauseke saadaan integroimalla virtausnopeutta v vesisuihkun poikkipinnan A yli. Padon kynnyksen kohdalla virtausnopeus on likimain kohtisuorassa suihkun poikkileikkausta vastaan, joten pätee

$Q=\underset{A}{\int }v\text{d}A$

Erimuotoisia patokaavoja saadaan nyt sijoittamalla yllä olevaan lausekkeeseen Bernoullin yhtälön antama virtausnopeus sekä huomioimalla integroinnissa padon poikkileikkauksen geometria.

Suorakulmainen pato

Tarkastellaan suorakulmaista patoa, jonka yläreuna on korkeudella z = 0. Olkoon nyt patoaltaan vedenpinta korkeudella z = h. Bernoullin yhtälöstä lähtien voidaan osoittaa, että virtausnopeus purkautuvassa vesisuihkussa on korkeudella z likimain

$v=\sqrt{2g(h-z)}$,

missä g on putoamiskiihtyvyys. Jos nyt padon leveys on B, on virtaama

$Q=\underset{{\mathrm{\Delta }}_2}{\overset{h-{\mathrm{\Delta }}_1}{\int }}\sqrt{2g(h-z)}B\text{d}z=\frac{2}{3}\mu \sqrt{2g}B{h}^{3/2}$

missä Δ₁ ja Δ₂ kuvaavat suihkun kapenemista ylä- ja alareunasta padon suulla, ja määritellään purkautumiskerroin μ siten, että

$\mu ={(1-\frac{{\mathrm{\Delta }}_2}{h})}^{3/2}-{\left(\frac{{\mathrm{\Delta }}_1}{h}\right)}^{3/2}$

Määritelmän mukaisesti purkautumiskerroin on aina ykköstä pienempi, ja yleensä se on luokkaa 0,6...0,7. Käytännössä sen arvo on selvitettävä kokeilun kautta.

V-aukkoinen pato

V-aukkoisen padon (toiselta nimeltään Thomsonin padon) virtaamalle voidaan vastaavin menetelmin johtaa lauseke

$Q=\frac{8}{15}\mu \sqrt{2g}\tan \left(\frac{\vartheta }{2}\right)h^{5/2}$

missä ϑ on V-aukon kulma (esimerkiksi 90°). Purkautumiskerroin μ on luokkaa 0,6 virtausnopeuden ollessa alle 30 cm s^-1 .

Esimerkki

Hitaasti virtaavaan ojaan asennettiin virtaaman määrittämiseksi Thomsonin pato, jonka V-aukon kulma oli 90°. Tietyllä ajanhetkellä havaittiin yläjuoksulla vedenpinnan olevan 4,5 cm V-aukon pohjaa ylempänä. Tästä päätellään, että kyseisellä hetkellä ojavirtaaman suuruus oli

$Q=[\frac{8}{15}\times 0.6\times \sqrt{2\times 9.81}\times \tan 45^{\circ }\times (0.045{)}^{5/2}]{\text{m}}^3{\text{s}}^{-1}\approx (6.1\times 10^{-4}){\text{m}}^3{\text{s}}^{-1}=0.61\ell {\text{s}}^{-1}$

Aiheesta muualla

• Laskuri suorakulmaiselle padolle sekä Kindsvater-Carter -yhtälö (englanniksi)