Potentiaalienergia

Potentiaalienergia eli asemaenergia kuvaa kappaleen kykyä tehdä työtä asemansa ansiosta. Potentiaalienergiasta puhutaan, kun kappaleeseen vaikuttaa jokin konservatiivinen voima. Voima on konservatiivinen, jos se riippuu vain kappaleen paikasta ja sen tekemä työ kappaleen siirtyessä tietystä paikasta toiseen on riippumaton kappaleen kulkemasta reitistä. Tällöin se ei muuta energiaa lämmöksi. Konservatiivisia voimia ovat muun muassa gravitaatiovoima ja jousivoima. Myös voima, jolla staattinen sähkökenttä vaikuttaa sähkövarauksiin, on konservatiivinen. Sitä vastoin esimerkiksi kitka ei ole konservatiivinen voima, sillä se muuttaa liike-energiaa lämmöksi.

Esimerkiksi kun kappale nostetaan pöydälle, energian säilymislain mukaisesti kappaleelle annettu kineettinen energia muuttuu Maan konservatiivisessa gravitaatiokentässä kappaleen potentiaalienergiaksi, joka taas muuttuu takaisin kineettiseksi energiaksi kappaleen pudotessa pöydältä.

Kappaleen potentiaali­energia ei ole yksi­käsitteisesti määritettävissä, vaan ainoastaan sen muutoksilla kappaleen siirtyessä paikasta toiseen on merkitystä. Tämän vuoksi on aina sovittava kohta, jossa potentiaalienergia määritellään nollaksi (esimerkiksi lattia). Potentiaalienergian tunnus on E_p tai U.

Yleisesti potentiaalienergia määritellään samoin kuin mekaaninen työ, joka on tehtävä siirrettäessä kappale pisteestä A pisteeseen B:

$W_S=\underset{S}{\overset{}{\int }}𝐅\cdot d𝐬.$

Yleisessä tapauksessa työn määrä riippuu käytetystä reitistä, joten voima olisi integroitava kyseistä reittiä pitkin. Jos kuitenkin kaikki vaikuttavat voimat ovat konservatiivisia, kappaleen siirtämiseksi tarvittava työ määräytyy yksikäsitteisesti alku- ja lopputilan perusteella. Siksi kirjoitetaan

$\mathrm{\Delta }{E}_p=\underset{r_0}{\overset{r}{\int }}𝐅\cdot d𝐫,$

missä

$E_p$ = potentiaalienergia

$𝐅$ = vastustava konservatiivinen voima

${𝐫}_0$ = reitin alkupiste

$𝐫$ = reitin loppupiste

Potentiaalienergia gravitaatiokentässä

Gravitaatiokentässä kappaleeseen vaikuttaa gravitaatiovoima, jonka suuruus lasketaan Newtonin painovoimalain avulla seuraavasti. Kaava on tarkasti voimassa vain massapisteille ja homogeenisille pallomaisille kappaleille.

$F=G\cdot \frac{m_1{m}_2}{r^2}=\left(G\frac{m_1}{r^2}\right)\cdot m_2$,

missä

$F$ = gravitaatiovoima kappaleiden 1 ja 2 välillä

$r$ = kappaleiden (keskipisteiden) välinen etäisyys

$G$ = kokeellisesti mitattu gravitaatiovakio ≈ $6,67\cdot 10^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}$

Kun kappale on lähellä Maan pintaa, siihen vaikuttava Maan vetovoima on yhtä suuri kuin sen massa kerrottuna putoamis­kiihtyvyydellä g, eli

$F=mg$.

Potentiaalienergian muutos esimerkiksi Maan gravitaatiokentässä on siten

$\mathrm{\Delta }{E}_p=\underset{r_0}{\overset{r}{\int }}F(r)dr=\underset{r_0}{\overset{r}{\int }}G\cdot \frac{mM}{r^2}dr=-G\cdot mM\cdot (\frac{1}{r}-\frac{1}{r_0})=m\underset{r_0}{\overset{r}{\int }}g(r)dr.$

missä g(r) on putoamiskiihtyvyys paikassa r. Riittävän pienillä matkoilla putoamiskiihtyvyys g on jokseenkin vakio, eli sen muutokset eivät ole merkittäviä. Jos siis oletetaan, että kohtuullisilla siirtymillä putoamiskiihtyvyys on likipitäen vakio, voidaan kappaleen potentiaalienergiassa tapahtuvaa muutosta arvioida seuraavasti:

$\mathrm{\Delta }{E}_p=m\underset{h_0}{\overset{h}{\int }}g(h)dh=mg\underset{h_0}{\overset{h}{\int }}dh=mgh-mg{h}_0=mg\mathrm{\Delta }h,$

missä

$m$ = siirrettävän kappaleen massa

$g$ = keskimääräinen putoamiskiihtyvyys sillä korkeudella, jolla kappaletta siirretään (Maan pinnan lähellä noin 9,81 m/s²)

$h$ = kappaleen korkeus eli etäisyys niin sanotun vertailutason, nollapotentiaalin, suhteen.

Todella suurilla korkeuseroilla, kuten lennätettäessä rakettia avaruuteen, putoamiskiihtyvyyden arvon muutokset ovat jo niin merkittäviä, ettei potentiaalienergiaa voi enää äskeisellä tavalla arvioida. Yleensä tämän pelkistetyn kaavan soveltaminen laskuissa antaa kuitenkin riittävän tarkkoja tuloksia.

Jousen potentiaalienergia

Jousivoima on esimerkki harmonisesta voimasta, jonka suuruus on Hooken lain mukaisesti

$𝐅=-k𝐱$,

missä

$𝐅$ = jousivoima

$k$ = jousen materiaalista ja rakenteesta riippuva jousivakio

$𝐱$ = siirtymä tasapainoasemasta, jota kohti voima aina osoittaa

Jousen potentiaalienergia voidaan laskea määritelmän mukaan

$E_p=\underset{0}{\overset{x}{\int }}Fdx=\underset{0}{\overset{x}{\int }}kxdx=\frac{1}{2}k{x}^2.$