Nelinopeus

Nelinopeus on fysiikassa, varsinkin suhteellisuusteoriassa nelivektori eli neli­ulotteisen aika-avaruuden vektori, joka vastaa kolmi­ulotteisessa avaruudessa määriteltyä nopeutta.

Suhteellisuusteoriassa neliulotteisen aika-avaruuden pisteitä, tai pisteitä tietyllä hetkellä, nimitetään tapahtumiksi. Jokaista kohdetta esittää siihen liittyvä käyrä aika-avaruudessa, kohteen maailmanviiva, joka voidaan parametrisoida kohteen itseis­ajalla. Nelinopeus on kohteen neli­sijainnin muutosnopeus tällä käyrällä itseis­ajan suhteen. Kappaleen nopeus sitä vastoin on sen sijainnin muutos­nopeus kolmi­ulotteisessa avaruudessa sellaisena kuin sen havaitsee inertiaalijärjestelmässä oleva havaitsija oman aikansa suhteen.

Nelinopeus on näin ollen kohteen maailman­viivan normalisoitu ajan­luontoinen tulevaisuuteen osoittava tangenttivektori, ja se on kovariantti vektori. Vaikka se on vektori, kahden neli­nopeuden summa ei yleensä ole minkään kohteen mahdollinen neli­nopeus, minkä vuoksi mahdolliset neli­nopeudet eivät muodosta vektori­avaruutta.

Minkä tahansa kohteen nelinopeuden itseisarvo on aina valon­nopeuden (c) suuruinen. Koordinaatiston suhteen levossa olevan kohteen neli­nopeus on aika­koordinaatin suuntainen.

Nopeus

Kohteen rata kolmiulotteisessa avaruudessa inertiaalisessa vertailu­järjestelmässä voidaan esittää kolmen koordinaatti­funktion avulla:

$x^i(t),i\in \{1,2,3\}$ ajan $t$ funktiona:

$\overrightarrow{x}=x^i(t)=\left[\begin{array}{c}{x}^1(t)\\ x^2(t)\\ x^3(t)\end{array}\right],$

missä luvut $x^i(t)$ tarkoittavat sijainnin kolmea avaruudellista koordinaattia hetkellä t.

Nopeuden $\overrightarrow{u}$ (käyrän tangentin) komponentit missä tahansa maailman­viivan pisteessä ovat

$\overrightarrow{u}=\left[\begin{array}{c}{u}^1\\ u^2\\ u^3\end{array}\right]=\frac{d\overrightarrow{x}}{dt}=\frac{d{x}^i}{dt}=\left[\begin{array}{c}\frac{d{x}^1}{dt}\\ \frac{d{x}^2}{dt}\\ \frac{d{x}^3}{dt}\end{array}\right].$

Suhteellisuusteoria

Einsteinin suhteellisuusteorian mukaan tietyn vertailu­järjestelmän suhteen liikkuvan kohteen radan määrittelee neljä koordinaatti­funktiota $x^{\mu }(\tau ),\mu \in \{0,1,2,3\}$, missä $x^0$ merkitsee aika­koordinaattia kerrottuna valon­nopeudella, ja jokainen funktio riippuu yhdestä parametrista $\tau$, jota sanotaan kohteen itseis­ajaksi.

$𝐱=x^{\mu }(\tau )=\left[\begin{array}{c}{x}^0(\tau )\\ x^1(\tau )\\ x^2(\tau )\\ x^3(\tau )\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}ct\\ x^1(t)\\ x^2(t)\\ x^3(t)\end{array}\right]$

Aikadilaatio

Aikadilaatiosta tiedetään, että

$t=\gamma \tau$

missä $\gamma$ on Lorentzin tekijä, joka määritellään seuraavasti:

$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$

ja u on nopeusvektorin euklidinen normi $\overrightarrow{u}$:

$u=||\overrightarrow{u}||=\sqrt{(u^1{)}^2+(u^2{)}^2+(u^3{)}^2}$.

Nelinopeuden määritelmä

Nelinopeus on maailman­viivan tangentin suuntainen neli­vektori. Nelinopeus missä tahansa maailman­viivan pisteessä $𝐱(\tau )$ määritellään seuraavasti:

$𝐔=\frac{d𝐱}{d\tau }$

missä $𝐱$ on nelivektorilla ilmaistu maailmanviivan pisteen sijainti aika-avaruudessa ja $\tau$ itseisaika.

Nelinopeutta ei voida määritellä valon­nopeudella liikkuville kohteille kuten fotoneille eikä myöskään valoa nopeammin liikkuville takyoneille, mikäli sellaisia on olemassa, sillä niiden maailman­viivan tangentti olisi paikan­luontoinen.

Nelinopeuden komponentit

Aika t ja koordinaattina ilmaistu aika $x^0$ vastaavat toisiaan yhtälön

$x^0=ct=c\gamma \tau$

mukaisella tavalla. Jos tästä otetaan derivaatta kohteen itseis­ajan $\tau$, suhteen, saadaan nopeuden komponentti $U^{\mu }$ tapauksessa μ = 0:

$U^0=\frac{d{x}^0}{d\tau }=c\gamma$.

Käyttämällä ketjusääntöä komponenteille $\mu =i=$1, 2, 3, saadaan:

$U^i=\frac{d{x}^i}{d\tau }=\frac{d{x}^i}{d{x}^0}\frac{d{x}^0}{d\tau }=\frac{d{x}^i}{d{x}^0}c\gamma =\frac{d{x}^i}{d(ct)}c\gamma =\frac{1}{c}\frac{d{x}^i}{dt}c\gamma =\gamma \frac{d{x}^i}{dt}=\gamma u^i$

missä on käytetty yhteyttä

$u^i=\frac{d{x}^i}{dt}.$

Täten nelinopeudelle $𝐔$ saadaan:

$𝐔=\gamma (c,\overrightarrow{u})$

Tiettyyn sileän aika-avaruuden alueeseen liittyvien mittakeppien ja synkronoitujen kellojen termein voidaan sanoa, että neli­nopeuden kolme paikan­luontoista komponenttia määrittelevät kohteen itseis­nopeuden $\gamma \overrightarrow{u}=d\overrightarrow{x}/d\tau$, toisin sanoen sen, kuinka nopeasti kohteen sijainti muuttuu vertailu­järjestelmän suhteen, kun aika mitataan itseisaikana sellaisen kellon avulla, joka kulkee kohteen mukana.

Lähteet

• Malline:Kirjaviite
• Malline:Kirjaviite