Rationaalijuurilause

Malline:Lähteetön Rationaalijuurilause tai rationaalijuuritesti kertoo, millaisia rationaalijuuria kokonaislukukertoimisella polynomiyhtälöllä

$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0=0$

voi olla.

Lause sanoo, että jos a₀ ja a_n eivät ole nollia, ja yhtälöllä on rationaalijuuriratkaisu $\frac{p}{q}$, missä syt (p,q)=1, niin p jakaa kertoimen a₀ ja q jakaa kertoimen a_n.

Todistus

Olkoon $\frac{p}{q}$ yhtälön $f(x)=a_n{x}^n+\cdots +a_{1}x+a_0$ juuri ja kertoimet a_n,a_n-1,...,a₀ kokonaislukuja.

Tällöin pätee $f\left(\frac{p}{q}\right)=a_n{\left(\frac{p}{q}\right)}^n+a_{n-1}{\left(\frac{p}{q}\right)}^{n-1}+\cdots +a_1\left(\frac{p}{q}\right)+a_0=0.$ Siirtämällä vakiotermi a₀ toiselle puolelle yhtälöä ja kertomalla puolittain termillä qⁿ saadaan yhtälö muotoon

$p(a_n{p}^{n-1}+a_{n-1}q{p}^{n-2}+\cdots +a_1{q}^{n-1})=-a_0{q}^n.$

Nyt siis p jakaa tulon $-a_0{q}^n$. Koska p:n ja q:n suurin yhteinen tekijä on 1, p ei jaa q:ta eikä myöskään lukua qⁿ. Siis p jakaa luvun a₀.

Siirtämällä korkeimman asteen termi oikealle puolelle voidaan päätyä vastaavasti yhtälöön

$q(a_{n-1}{p}^{n-1}+a_{n-2}q{p}^{n-2}+\cdots +a_0{q}^{n-1})=-a_n{p}^n,$

josta puolestaan voidaan päätellä, että luvun q täytyy jakaa luku a_n.

Esimerkki

Tarkastellaan yhtälöä $P(x)=3x^3-7x^2+4$ ja tutkitaan, onko sillä rationaalijuurta p/q. Rationaalijuurilauseen perusteella p jakaa vakiotermin 4 ja q jakaa korkeimman asteen termin 3. Nyt siis $p\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 4\}$ ja $q\in \{\pm 1,\pm 3\}$. Yhdistämällä tiedot voidaan päätellä mahdollisen rationaalijuuren kuuluvan joukkoon $\{\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm \frac{1}{3},\pm \frac{2}{3},\pm \frac{4}{3}\}$. Sijoittamalla juuret yhtälöön voidaan kokeilemalla huomata, että $P(2)=P(1)=P(-\frac{2}{3})=0.$ Yhtälön rationaalijuuret ovat siis 1, 2 ja −2/3.

Rationaalijuurilause rajaa tarkasti, mitkä rationaaliluvut voivat olla yhtälön juuria. Yhdenkään näistä ei kuitenkaan tarvitse olla yhtälön juuri, sillä esimerkiksi yhtälöllä $Q(x)=x^5+3=0$ ei ole rationaalijuuria. Rationaalijuuritestin perusteella sen ainoat rationaalijuuret voisivat olla 1, −1, −3 ja 3, mutta kuitenkin Q(1)= 4, Q(−1)= 2, Q(3)=246 ja Q(−3) = −240.

Algebrallinen yleistys

Rationaalijuurilause pätee myös muille algebrallisille rakenteille kuin kokonaisluvuille ja rationaaliluvuille. Ylempänä esitetty todistus pätee jokaiselle tekijöihinjakorenkaan R polynomirenkaan R[X] alkiolle, kun tutkitaan polynomin juuria R:n osamääräkunnassa K.

Aiheesta muualla

• [1]