Brittiläinen lippulause

Brittiläisen lippulauseen mukaan punaisten neliöiden pinta-alojen summa on yhtä suuri kuin sinisten neliöiden pinta-alojen summa.

Brittiläinen lippulause on Euklidisen geometrian lause. Lauseen mukaan, kun valitaan piste P suorakulmion ABCD sisältä, pisteen P ja suorakulmion vastakkaisten kulmien välisten etäisyyksien neliöiden summa on yhtä suuri kuin toisen kahden suorakulmion vastakkaisen kulman ja pisteen P välisten etäisyyksien neliöiden summa.

Yhtälönä siis:

$A{P}^2+C{P}^2=B{P}^2+D{P}^2.$

Lause pätee myös suorakulmion ulkopuolisiin pisteisiin, ja vielä yleisemmin Euklidisessa avaruudessa olevan pisteen etäisyyksiin avaruudessa olevan suorakulmion kulmiin. Tällöin todistus on vaikeampi havainnollistaa.

Todistus

Todistuksen kuva

Piirretään pisteestä P suorakulmion sivujen AB, BC, CD ja AD kanssa kohtisuorassa olevat suorat. Merkitään suorakulmion sivuja leikkaavat kohdat pisteillä w, x, y ja z, vieressä olevaa kuvaa vastaavilla tavoilla. Huomataan, että muodostuu suorakulmainen kolmio AwP, ja wP = Az.

Nyt Pythagoraan lauseen mukaan,

• $A{P}^2=A{w}^2+w{P}^2=A{w}^2+A{z}^2$

Näin voimme laskea pisteen P ja suorakulmion kolmen muun kulman välisten etäisyyksien neliöt:

• $P{C}^2=w{B}^2+z{D}^2,$
• $B{P}^2=w{B}^2+A{z}^2,$ ja
• $P{D}^2=z{D}^2+A{w}^2.$

Täten:

$A{P}^2+P{C}^2=(A{w}^2+A{z}^2)+(w{B}^2+z{D}^2)=(w{B}^2+A{z}^2)+(z{D}^2+A{w}^2)=B{P}^2+P{D}^2.$

Nimi

Yhdistyneen kuningaskunnan lippu.

Lauseen nimi tulee siitä, kun piirretään pisteestä P viivat suorakulmion kulmiin sekä todistuksessa käytettävät suorakulmion sivujen kanssa kohtisuorat viivat, lopputulos muistuttaa joidenkin mielestä Yhdistyneen kuningaskunnan lippua.