Vuorotteleva sarja

Vuorotteleva sarja tarkoittaa matematiikassa sellaista sarjaa, jonka termit ovat vuorotellen positiivisia ja negatiivisia. Täsmällisemmin määriteltynä vuorotteleva sarja on muotoa

$S=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k-1}{a}_k=a_1-a_2+a_3-a_4+\dots$

oleva sarja, missä $a_k>0$ jokaisella $k=1,2,\dots$

Vuorotteleva sarja suppenee, jos sen osasummien

$S_n=\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}{a}_k=a_1-a_2+\dots +a_n$

muodostama jono $(S_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ suppenee.

Leibnizin kriteerio

Leibnizin kriteerio, toiselta nimeltään Leibnizin testi vuorotteleville sarjoille, antaa riittävän ehdon vuorottelevan sarjan suppenemiselle. Sen ehdot ovat yksinkertaiset eikä niiden tarkasteleminen vaadi osasummien laskemista.

Lause: Sarja

$S=u_1-u_2+u_3-\dots +u_{2n-1}-u_{2n}+\dots ,$

jonka termit ovat vuorotellen positiivisia ja negatiivisia, on varmasti suppeneva jos termien itseisarvot lakkaamatta pienenevät ja niiden raja-arvona on 0, siis

$u_0>u_1>u_2>\dots >u_n>\dots >0,\text{ja }\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_k=0.$

Todistus: Oletetaan, että positiiviterminen jono $(u_k)$ suppenee monotonisesti kohti lukua 0. Jos yhdistämme sarjan $S$ termit kaksittain

$S=(u_1-u_2)+(u_3-u_4)+\dots +(u_{2k-1}-u_{2k}\dots ),$

niin kaikki suluissa olevat summat ovat positiivisia ja saamme osasummille epäyhtälöketjun

$S_2<S_4<S_6\dots <S_{2n}<\dots .$

Jos taasen yhdistämme sarjan termit toisella tavalla, saamme

$S=u_1-(u_2-u_3)-(u_4-u_5)-\dots .$

Jälleen suluissa olevat summat ovat positiivisia ja päädymme tulokseen

$S_1>S_3>S_5>\dots >S_{2n-1}>\dots .$

Yhtälöstä

$S_{2n}-S_{2n-1}=-u_{2n}$

seuraa edelleen, että

$S_{2n-1}>S_{2n},$

oli summausindeksi $n$ mikä hyvänsä. Lopulta, koska oletimme ehdon $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{u}_n=0$ olevan voimassa, saamme

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_{2n}-S_{2n-1}=0.$

Näin ollen meillä on kasvava lukujono ja vähenevä lukujono, joista toinen on aina toista suurempi ja joiden yleisten termien raja-arvon erotus lähenee lukua 0, joten lukujonot suppenevat kohti yhteistä raja-arvoa $S$. Alun oletuksilla siis osasummien muodostama lukujono $S_n$ suppenee ja

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=S.$

Sarjan summan arvioiminen

Vuorottelevan sarjan summaa $S$ voidaan arvioida laskemalla sarjan osasummia $S_n$. Jos sarjan termit ovat monotonisesti väheneviä, voidaan virhetermin suuruutta arvioida ensimmäisestä summasta poisjätetystä termistä, sillä

$S-S_n=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k-1}{u}_k-\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}{u}_k=\sum _{k=n+1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k-1}{u}_k=u_{n+1}-(u_{n+2}-u_{n+3})-(u_{n+4}-u_{n+5})-\dots \le u_{n+1}$

ja näin saadaan virhetermille arvio

$|R_n|=|S-S_n|=|\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k-1}{u}_k-\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}{u}_k|\le |u_{n+1}|$

Itseisesti suppeneva sarja

Sarja $\sum u_k$ on itseisesti suppeneva, jos sarja $\sum |u_k|$ suppenee.

Lause: Itseisesti suppeneva sarja suppenee myös tavallisessa mielessä.

Todistus: Oletetaan, että sarja $\sum u_k$ suppenee itseisesti. Tällöin sarjat $\sum |u_k|$ ja $\sum 2|u_k|$ suppenevat.

Koska epäyhtälöt

$0\le u_k+|u_k|\le 2|u_k|$

ovat aina voimassa, niin majoranttiperiaatteen mukaan myös sarja $\sum u_k+|u_k|$ suppenee.

Näin ollen $\sum a_k$ suppenee kahden suppenevan sarjan erotuksena, sillä

$\sum a_k=\sum (a_k+|a_k|)-\sum |a_k|.$

Itseisesti suppenevan sarjan termit voidaan järjestään uudelleen, jolloin sarja pysyy suppenevana ja summa muuttumattomana.

Ehdollinen suppeneminen

Sarja suppenee ehdollisesti, jos se suppenee, mutta ei suppene itseisesti. Esimerkiksi sarja

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}$

suppenee Leibnizin kriteerion perusteella, mutta ei suppene itseisesti, sillä harmoninen sarja $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}$ hajaantuu.

Ehdollisesti suppenevan sarjan termien järjestystä ei voi muuttaa, minkä näkee seuraavasta esimerkistä.

$\ln (2)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots .$

Järjestetään termit uudelleen seuraavasti:

$\begin{array}{cc}& (1-\frac{1}{2})-\frac{1}{4}+(\frac{1}{3}-\frac{1}{6})-\frac{1}{8}+(\frac{1}{5}-\frac{1}{10})-\frac{1}{12}+\cdots \\ & =\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+\cdots \\ & =\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots )=\frac{1}{2}\ln (2),\end{array}$

jolloin päädyttäisiin tulokseen

$\ln (2)=\frac{1}{2}\ln (2),$

mikä luonnollisestikaan ei pidä paikkaansa.

Katso myös

• Sarja (matematiikka)
• Harmoninen sarja

Kirjallisuutta

• Malline:Verkkoviite