Goldbachin heikko konjektuuri
Malline:LähteetönGoldbachin heikko konjektuuri on matematiikan avoin ongelma, jonka mukaan jokainen lukua suurempi pariton kokonaisluku on kolmen alkuluvun summa. Otaksuma tunnetaan myös nimillä pariton Goldbachin konjektuuri ja kolmen alkuluvun ongelma.
Edistyminen
- 1923: Hardy ja Littlewood todistivat, että yleistetystä Riemannin hypoteesista seuraa Goldbachin heikko otaksuma kaikille riittävän suurille luvuille.[1]
- 1937: Vinogradov todisti Siegelin–Walfiszin lauseen avulla otaksuman pätevän kaikille riittävän suurille luvuille ilman yleistettyä Riemannin hypoteesiä.[2]
- 1956: Vinogradovin opiskelija K. Borozdkin todisti, että väite pätee kun .
- 1997: Deshouillers, Effinger, te Riele ja Zinoviev todistivat, että yleistetystä Riemannin hypoteesista seuraa Goldbachin heikko otaksuma.[3]
- 2002: Liu Ming-Chit ja Wang Tian-Ze onnistuivat todistamaan, että väite on voimassa kun Raja on vielä liian suuri tietokoneiden läpikäytäväksi, mutta jokainen yksittäinen erikoistapaus on suuruusluokkansa puolesta tarkistettavissa.[4]
- Toukokuuhun 2012 mennessä Goldbachin heikko konjektuuri on todistettu lukuun asti.[5]
- Vuosina 2012, 2013 ja 2014 H. A. Helfgott lähetti Arxiviin kolme artikkelia, jotka todistivat otaksuman.[5][6][7][8][9] Todistus perustuu niin sanottuun major- ja minorkaariestimointiin, joka on kehitetty Hardyn–Littlewoodin ympyrämenetelmästä sekä otaksuman laskennalliseen varmistamiseen lukua pienemmille ja seitsemää suuremmille parittomille luvuille. Tämän laskennallisen osuuden hän teki yhdessä David Plattin kanssa[10].
Parittomien lukujen esittäminen useamman alkuluvun summana
- Vuonna 1995 Olivier Ramaré osoitti, että jokainen parillinen luku on korkeintaan kuuden alkuluvun summa. Tästä seuraa, että jokainen pariton luku on korkeintaan seitsemän alkuluvun summa.[11]
- Vuonna 1995 Leszek Kaniecki osoitti, että jokainen pariton kokonaisluku on korkeintaan viiden alkuluvun summa, kunhan Riemannin hypoteesi on voimassa. [12]
- 2012: Terence Tao todisti, että jokainen pariton positiivinen kokonaisluku on korkeintaan viiden alkuluvun summa.[13]
Lähteet
- ↑ G. H. Hardy, J. E. Littlewood, "Some problems of `partitio numerorum' : III: on the expression of a number as a sum of primes," Acta Math., 44 (1923) 1–70. Reprinted in "Collected Papers of G. H. Hardy," Vol. I, pp. 561–630, Clarendon Press, Oxford, 1966.
- ↑ I. M. Vinogradov, "Representation of an odd number as a sum of three primes" Dokl. Akad. Nauk SSSR, 16 (1937) 179–195. Russian
- ↑ J. M. Deshouillers, G. Effinger, H. te Riele, D. Zinoviev, "A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis," ERA Amer. Math. Soc., 3 (1997) 94–104.
- ↑ Liu Ming-Chit, Wang Tian-Ze "On the Vinogradov bound in the three primes Goldbach conjecture.", Acta Arith., 105, No.2, 133–175 (2002)
- ↑ 5,0 5,1 H. A. Helfgott, Minor Arcs for Goldbach's problem, http://arxiv.org/abs/1205.5252
- ↑ Artem Kaznatcheev, PRIME NUMBERS: THE 271 YEAR OLD PUZZLE RESOLVED http://www.truthiscool.com/prime-numbers-the-271-year-old-puzzle-resolved Malline:Wayback
- ↑ Terence Taon Google+-tili https://plus.google.com/u/0/114134834346472219368/posts/8qpSYNZFbzC
- ↑ H. A. Helfgott, Major arcs for Goldbach's theorem, http://arxiv.org/pdf/1305.2897v1
- ↑ H. A. Helfgott, The ternary Goldbach conjecture is true http://arxiv.org/abs/1312.7748
- ↑ H. A. Helfgott, D. Platt, Numerical Verification of the Ternary Goldbach Conjecture up to 8.875e30 http://arxiv.org/abs/1305.3062
- ↑ Olivier Ramaré, "On Šnirel'man's constant", Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci., vol. 22, no 4, 1995, p. 645–706
- ↑ Kaniecki, Leszek (1995). "On Šnirelman's constant under the Riemann hypothesis". Acta Arithmetica 4. pp. 361–374
- ↑ Terence Tao, Every odd number greater than 1 is the sum of at most five primes, http://arxiv.org/pdf/1201.6656v4