Klassinen elektronin säde

Klassinen elektronin säde, joka tunnetaan myös Lorentzin säteenä tai Thomsonin sironnan pituutena, on klassiseen fysiikkaan ja suhteellisuusteoriaan, mutta ei kvanttimekaniikkaan perustuva arvio elektronin säteelle. Sen suuruus on

$r_{\mathrm{e}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{e^2}{m_{\mathrm{e}}{c}^2}=2,8179403267(27)\times 10^{-15}\mathrm{m}$

missä $e$ on elektronin varaus eli alkeisvaraus, $m_{\mathrm{e}}$ elektronin massa, $c$ valonnopeus ja ${\epsilon }_0$ tyhjiön permittiivisyys eli sähkövakio.

CGS-järjestelmän Gaussin yksiköissä, elektronin säde voidaan laskea yksinkertaisemmin

$r_{\mathrm{e}}=\frac{e^2}{m_e{c}^2}=2,8179403267(27)\times 10^{-13}\mathrm{c}\mathrm{m}$

sillä näissä yksiköissä on kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella

$e=4,80\times 10^{-10}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{u},m_e=9,11\times 10^{-28}\mathrm{g},c=3,00\times 10^{10}\mathrm{c}\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Klassisen elektro­statiikan mukaan energia, joka tarvitaan keräämään palloon, jonka säde on $r_e$, varaus $e$ siten, että varaustiheys pallon sisällä on vakio, on

$E=\frac{3}{5}\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{e^2}{r_{\mathrm{e}}}$.

Jos taas varaus on pallon pinnalla, tarvittava energia on

$E=\frac{1}{2}\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{e^2}{r_{\mathrm{e}}}$.

Jos näistä jätetään pois kerron 3/5 tai 1/2 ja jos oletetaan, että tämä vastaa elektronin suhteellisuusteorian mukaista massa­energiaa (E=mc²) ja jos yhtälöstä ratkaistaan säde $r_e$, saadaan elektronin massalle edellä oleva arvio.

Toisin sanoen klassinen elektronin säde on suunnilleen se säde, joka elektronilla pitäisi olla, jos sen massan oletetaan johtuvan kokonaan sen elektro­staattisesta potentiaalienergiasta eikä kvanttimekaniikkaa oteta huomioon. Nykyisin tiedetään, että näin pienillä etäisyyksillä elektronin käyttäytymistä ei voida ymmärtää muutoin kuin kvantti­mekaniikan ja kvanttikenttäteorian avulla, minkä vuoksi klassisen elektronin säteen ei enää katsota vastaavan elektronin todellista sädettä. Kuitenkin klassista elektronin sädettä käytetään yhä liki­arvona klassisella rajalla toimivissa teorioissa kuten Thomsonin sironnan epä­relati­vistisessa teoriassa ja relativistisessa Klein-Nishinan kaavassa. Klassinen elektronin säde ilmaisee myös suunnilleen sen etäisyyden, jolla renormalisointi tulee tärkeäksi kvantti­elektro­dynamiikassa.

Klassinen elektronin säde on yksi kolmesta atomi­fysiikassa tärkeästä pituus­yksiköistä, joista kaksi muuta ovat Bohrin säde $a_0$ ja elektronin Comptonin aallonpituus ${\lambda }_e$. Klassinen elektronin säde on muodostettu elektronin massan $m_e$, valonnopeuden $c$ ja elektronin varauksen $e$ avulla. Bohrin säde on muodostettu elektronin massan ja varauksen sekä Planckin vakion $h$ avulla, Comptonin aallon­pituus taas elektronin massan, Planckin vakion ja valon­nopeuden avulla. Jokainen näistä kolmesta pituudesta voidaan muodostaa toisistaan kertomalla tai jakamalla muut hienorakennevakiolla $\alpha$:

$r_e=\frac{\alpha {\lambda }_e}{2\pi }={\alpha }^2{a}_0$

Samaan tapaan kuin klassinen elektronin säde määritellään, voidaan millä tahansa massalla $m_0$ ajatella olevan sähkömagneettinen säde

$r=\frac{k_C{e}^2}{m_0{c}^2}=\frac{\alpha \hslash }{m_{0}c}$

missä $k_C$ on Coulombin vakio, $\alpha$ hienorakennevakio ja $\hslash$ redusoitu Planckin vakio.

Lähteet

• CODATA-arvo klassiselle elektronin säteelle (NIST
• Arthur N. Cox, Ed. "Allen's Astrophysical Quantities", 4. painos, Springer, 1999.