Aste (polynomi)

Polynomin aste on matematiikassa käytetty termi, jolla jaotellaan erilaisia polynomeja niiden ominaisuuksien mukaan. Polynomin, joka muodostuu yhdestä tai useammasta monomista, perusominaisuudet määrätyvät korkeampiasteisen monomin mukaan.

Esimerkki

Monomin aste on potenssimerkinnässä olevan eksponentin arvo. Esimerkiksi potenssin

$3x^5$

aste on viisi. Kun polynomissa on useita monomeita, tulee polynomin asteeksi korkein monomin aste. Esimerkiksi polynomi p(x)

$p(x)=3x^6+2x^5-2x^2+x-4$

muodostuu viidestä monomista eli termistä. Niiden asteet ovat vasemmalta lukien 6, 5, 2, 1 ja 0. Koska asteluku 6 on korkein aste, tulee se polynomin asteluvuksi. Tällöin sanotaan, että polynomi p(x) on kuudetta astetta, ja se voidaan merkitä myös

$\mathrm{deg}(3x^6+2x^5-2x^2+x-4)=6$,

missä deg merkitsee englanniksi degree.

Nimityksiä

Polynomifunktiosta, jonka asteluku on n, käytetään nimitystä

• n = 0: Vakiofunktio
• n = 1: Lineaarinen funktio eli ensimmäisen asteen polynomi
• n = 2: Kvadraattinen funktio eli toisen asteen polynomi
• n = 3: Kuutiollinen funktio eli kolmannen asteen polynomi
• n = 4: neljännen asteen polynomi
• n = n: n. asteen polynomi

Asteen määräytyminen

Seuraavassa esitellään muutama yleinen tapaus polynomilaskennassa. Niissä polynomi ei saa olla nollafunktio, sillä kun ei ole astetta. Kahden polynomin P(x) ja Q(x) yhteen- ja vähennyslaskussa tuloksen P(x)±Q(x) aste on suurempi aste:

$\mathrm{deg}(P+Q)\le \max (\mathrm{deg}(P),\mathrm{deg}(Q))$,

$\mathrm{deg}(P-Q)\le \max (\mathrm{deg}(P),\mathrm{deg}(Q))$.

Esimerkiksi summan $(x^3+x)+(x^2+1)=x^3+x^2+x+1$ aste on 3, koska 3 ≤ max(3, 2). Samoin erotuksen $(x^3+x)-(x^3+x^2)=-x^2+x$ aste on 2, koska 2 ≤ max(3, 3).

Vakiolla kertominen ei vaikuta astelukuun:

$\mathrm{deg}(cP)=\mathrm{deg}(P)$.

Esimerkiksi $2(x^2+3x-2)=2x^2+6x-4$ aste on 2, joka on myös alkuperäisen polynomin $x^2+3x-2$ aste.

Polynomien P(x) ja Q(x) tulon P(x)Q(x) aste on asteiden summa

$\mathrm{deg}(PQ)=\mathrm{deg}(P)+\mathrm{deg}(Q)$

ja osamäärässä P(x)/Q(x) asteiden erotus

$\mathrm{deg}\left(\frac{P}{Q}\right)=\mathrm{deg}(P)-\mathrm{deg}(Q)$.

Esimerkiksi tulon $(x^3+x)(x^2+1)=x^5+2x^3+x$ aste on 3 + 2 = 5.

Polynomien P(x) ja Q(x) yhdistetyn funktion aste on asteiden tulo

$\mathrm{deg}(P\circ Q)=\mathrm{deg}(P)\mathrm{deg}(Q)$.

Esimerkiksi, jos $P(x)=(x^3+x)$, $Q(x)=(x^2+1)$, niin $(P\circ Q)(x)=P(x)\circ (x^2+1)=(x^2+1{)}^3+(x^2+1)=x^6+3x^4+4x^2+2$, jonka aste on 6. Alkuperäisten polynomien asteiden tulo $2\cdot 3=6$

Asteen määrittäminen funktion arvoista

Polynomin P(x) aste voidaan laskea raja-arvona

$\mathrm{deg}P=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\log |P(x)|}{\log x}.$

Yleistäen voidaan määrittää muidenkin funktioiden aste edellisellä raja-arvolla. Esimerkiksi:

• Käänteislukufunktion $1/x$ aste −1.
• Neliöjuurifunktionn $\sqrt{x}$ aste on 1/2.
• Logaritmifunktion $\log x$ aste on 0.
• Eksponenttifunktion $\exp x$ aste on ∞.

Yleisen funktion f(x) aste voidaan määrittää toisenkin raja-arvon avulla:

$\mathrm{deg}f=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x{f}^{\prime }(x)}{f(x)}$.

Lähteet

• Wolfram Mathworld: Polynomial order
• Ranto, Sanna: Polynomin aste