Laskutoimitus

Yhteenlaskun konkreettisuus tulee näkyviin lukumäärien yhdistämisestä.

Peruslaskutoimitusten symbolit.

Laskutoimitukseksi kutsutaan matematiikassa tiettyjä vakiintuneita tapoja liittää yhteen tai kahteen alkioon yksi alkio. Aritmetiikassa laskutoimitukset ovat toimintoja, joissa yhden tai kahden luvun avulla muodostetaan uusi luku, jota kutsutaan laskutoimituksen arvoksi. Yhteenlasku $1+2=3$ on esimerkki laskutoimituksesta, jossa otetaan kaksi lukua ($1$ ja $2$) ja niiden pari muodostaa uuden luvun $3$.

Neljä peruslaskutoimitusta ovat : yhteenlasku, vähennyslasku, kertolasku ja jakolasku. Yleisesti alkeislaskutoimituksiksi käsitetään vielä esimerkiksi: potenssiin korotus ja juuren ottaminen.Malline:Lähde

Peruslaskutoimitukset

Peruslaskutoimitukset ovat neljä tärkeintä luvuilla tehtävää laskutoimitusta. Ne ovat yhteenlasku, vähennyslasku, kertolasku ja jakolasku.

Yhteenlasku on luvun lisääminen toiseen. Riippumatta siitä, missä järjestyksessä lukuja yhteenlasketaan toisiinsa, lopputulos on aina sama. Jos positiivisia lukuja lisätään toisiin positiivisiin lukuihin, tulos on aina positiivinen luku. Samoin jos negatiivisia lukuja lisätään negatiivisiin lukuihin, tulos on aina negatiivinen. Yhteenlaskua merkitään "plus"- tai summamerkillä: $+$

Vähennyslasku on yhteenlaskun käänteistoiminto. Se liittyy yhteenlaskuun siten että jos kaksi lukua lasketaan yhteen, vähentämällä summasta toinen yhteenlasketuista luvuista saadaan lopputulokseksi se toinen.

$a+b=c\Rightarrow c-b=a\wedge c-a=b$

Vähennyslasku on siinä suhteessa epäsymmetrinen, että vaihtamalla keskenään luku, josta vähennetään, ja luku, joka vähennetään, erotukset ovat samat vain erityistapauksissa.

$a-b=b-a\iff a=b$

Kertolasku voidaan palauttaa yhteenlaskuun siten, että kertolaskussa lisätään toisiinsa kertojan osoittama määrä kerrottavia. Kertojan ja kerrottavan vaihtaminen keskenään ei vaikuta lopputulokseen eli kertolasku on vaihdannainen. Erikoistapauksena mainittakoon, että nollalla kertominen tai nollan kertominen tuottaa aina tulokseksi luvun nolla riippumatta siitä, millä luvulla se kerrotaan tai mikä luku sillä kerrotaan.

Jakolasku ei suoraan palaudu yhteenlaskuun.

Formaalista määritelmästä

Matematiikassa laskutoimituksen formaali määritelmä voi vaihdella kirjallisuudesta ja asiayhteydestä riippuen. Yleensä joukon $E$ laskutoimitus määritellään kuvaukseksi $E\times E\to E$, joka liittää jokaiseen järjestettyyn pariin $E$:n alkioita s, s′ yksikäsitteisen $E$:n alkion s′′. Näissä yhteyksissä laskutoimitus on synonyymi binäärioperaatiolle . Laskutoimituksen ei välttämättä tarvitse operoida lukuja. Esimerkiksi edellisen määritelmän mukaan joukko-opillinen leikkaus ja unioni ovat laskutoimituksia mielivaltaisen joukon $E$ potenssijoukolle $𝒫(E).$ Näin määriteltynä rationaalilukujen yhteenlasku on laskutoimitus, mutta rationaalilukujen jakolasku määriteltynä funktiona $\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}-\{0\}\to \mathbb{Q}$ ei ole. Tämä ei kuitenkaan estä kutsumasta jakolaskua laskutoimitukseksi muissa yhteyksissä, kuten esimerkiksi aritmetiikassa Malline:Lähde.

Vektoriavaruuksissa vektorin kertominen skalaarilla, joka on kuvaus $K\times V\to V$, saatetaan katsoa laskutoimitukseksi koulukunnasta riippuen. Toisinaan myös vektorien sisätuloa voidaan kutsua laskutoimitukseksi.