Lebesguen differentioituvuuslause

Malline:LähteetönMatematiikassa Lebesguen differentioituvuuslause on reaalianalyysin lause, jonka mukaan integroituvan funktion arvo voidaan laskea melkein kaikkialla laskemalla sen infinitesimaalisten keskiarvojen raja-arvo. Lause on nimetty Henri Lebesguen mukaan.

Väite

Jos f on reaali- tai kompleksiarvoinen funktio, niin infinitesimaalinen integraali on funktio, joka kuvaa mitallisen joukon A  funktion $f\cdot {\mathrm{𝟏}}_A$ Lebesguen integraalille, missä ${\mathrm{𝟏}}_A$ on joukon A indikaattorifunktio. Tämä kirjoitetaan usein muodossa.

$\underset{A}{\int }f\mathrm{d}\lambda ,$

missä λ on n-ulotteinen Lebesguen mitta.

Tämän integraalin derivaatta kohdassa x on määritelmän perusteella

$\underset{B\to x}{\lim }\frac{1}{|B|}\underset{B}{\int }f\mathrm{d}\lambda ,$

missä |B| on x-keskisen pallon B tilavuus eli Lebesguen mitta. Lisäksi B → x tarkoittaa, että pallon säde lähestyy nollaa.

Lebesguen differentioituvuuslause sanoo, että yllä oleva derivaatta on olemassa ja sen arvo on f(x) melkein jokaisessa pisteessä x ∈ Rⁿ. Niitä pisteitä x, joissa yhtäsuuruus on voimassa, sanotaan Lebesguen pisteiksi.