Suppeneva sarja

Sarjan summa määritellään sarjan äärellisten osasummien muodostaman lukujonon raja-arvona. Jos tällainen summa löytyy, sarja suppenee. Jos sarja ei suppene, on se hajaantuva sarja. Suppenemisen voi osoittaa määritelmän avulla tai suppenemistesteillä.

Määritelmä

Sarja $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_k=x_1+x_2+...$ suppenee, jos sen osasummien jono $\left(S_n\right)={\left(S_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ suppenee, ts. jos $\mathrm{\exists }S\in ℝ$ s.e. $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{S}_n=S$. Tällöin S on sarjan summa ja merkitään

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_k=x_1+x_2+...=S$

Sarjan suppenemiseen liittyviä lauseita

Lause 1.

Jos $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_k$ suppenee, niin $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{k\to \mathrm{\infty }}{x}_k=0$

Lause 2.

Suppenevalle sarjalle erotusta

$R_n=S-S_n$

sanotaan sarjan n:nneksi jäännöstermiksi.

Lause 3.

Suppenevalle sarjalle $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{R}_n=0$

Lause 4.

Jos $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_k=X$ ja $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{y}_k=Y$, sekä $a\in ℝ$, niin

$a)\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(x_k+y_k)=X+Y$

$b)\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}a{x}_k=aX$

Lause 5.

Jos sarja $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_k$ suppenee ja sarja $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{y}_k$ hajaantuu, niin summasarja $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(x_k+y_k)$ hajaantuu. Jos molemmat sarjat $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_k$ ja $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{y}_k$ hajaantuvat, niin niiden summasarja $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(x_k+y_k)$ voi joko a)supeta tai b)hajaantua.

Lause 6. Cauchyn yleinen suppenemiskriterio sarjoille

Sarja $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_k$ suppenee $⟺\epsilon >0$ kohti $\mathrm{\exists }{n}_{\epsilon >0}\in \mathbb{N}$ s.e.

$|x_{n+1}+x_{n+2}+x_{n+3}+...+x_{n+p}|<\epsilon$

kaikilla $p\in \mathbb{N}$ aina kun $n>n_{\epsilon }$

Itseisesti suppeneva sarja

Määritelmä

sarja $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_k$ suppenee itseisesti, jos sarja $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|x_k|$ suppenee.

Lause 7.

Jos $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|x_k|$ suppenee, niin $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_k$ suppenee. Tällöin sarjoille pätee

$|\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_k|⩽\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|x_k|$

Lähteet

Lauri Myrberg: Differentiaali- ja integraalilaskenta korkeakouluja varten osa 2, 1.-2. painos, Tampereen Kirjapaino-Oy Tamprint, 1978

Jouni Kankaanpää, Lauri Myrbeg, Jussi Väisälä, Hannu Honkasalo: Differentiaali- ja integraalilaskenta I.2