Abelin lause

Abelin lause on matematiikan lause, joka käsittelee potenssisarjojen suppenemista. Lause on nimetty kehittäjänsä, norjalaisen matemaatikon Niels Henrik Abelin, mukaan.

Lause

Olkoon

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k(x-x_0{)}^k$

potenssisarja, missä $a_0,a_1,a_2,...$ ja $x_o$ ovat reaalilukuisia vakioita ja $x_0$ sarjan kehityskeskus.

Abelin lauseen mukaan:

i) Jos potenssisarja suppenee eräällä $x=x_1\ne x_0$, niin se suppenee itseisesti jokaisella reaaliluvulla $x$, jolle $|x-x_o|<|x_1-x_0|$, eli joka on lähempänä lukua $x_0$ kuin luku $x_1$.

ii) Jos potenssisarja ei suppene itseisesti eräällä $x=x_2$, niin se hajaantuu jokaisella reaaliluvulla $x$, jolle $|x-x_o|>|x_2-x_0|$, eli joka on kauempana luvusta $x_0$ kuin luku $x_2$.

Kirjallisuutta

• Malline:Kirjaviite