Kvanttimekaaninen harmoninen värähtelijä

Kvanttimekaanisen harmonisen värähtelijän aaltofunktio energiatasoilla n=0 - n=20. Todennäköisyystiheys on suurimmillaan valkoisilla alueilla ja pienimmillään mustilla alueilla.

Kvanttimekaaninen harmoninen värähtelijä on kvanttimekaaninen systeemi, jonka potentiaalienergia on suoraan verrannollinen tasapainoasemasta mitatun etäisyyden neliöön. Tässä suhteessa se on analoginen klassiselle harmoniselle värähtelijälle. Lähellä tasapainoasemaa mielivaltaisen muotoinen potentiaali voidaan approksimoida harmoniseksi värähtelijäksi. Tätä ominaisuutta kvanttimekaanisten potentiaalien käsittelemisessä tarvitaankin.

1-ulotteinen värähtelijä

Klassinen harmoninen värähtelijä kuvaa voimaa $F=-kx$, missä $k$ on vakio ja $x$ poikkeama tasapainoasemasta. Merkitään nyt $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$, missä $\omega$ on kulmanopeus ja $m$ massa, niin saadaan potentiaaliksi $V(x)=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$.

Ominaisenergia ja ominaistila

Kvanttimekaanisessa tapauksessa lasketaan hiukkasen ominaisenergia ja ominaistila ratkaisemalla Schrödingerin yhtälö edellä saadulle potentiaalille. Hamiltonin funktio on nyt

$H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$

$H=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$,

missä ensimmäinen termi kuvastaa potentiaalikuopassa olevan hiukkasen liike-energiaa ja jälkimmäinen potentiaalienergiaa. Itse Schrödingerin yhtälö on

$H|\mathrm{\Psi }⟩=E|\mathrm{\Psi }⟩$.

Yllä oleva yhtälö on mahdollista ratkaista analyyttisesti (ratkaisua ei tehdä tässä). Ratkaisusta saadaan stationaarisille tiloille tulos

${\mathrm{\Psi }}_n(x)=\left(\frac{m\omega }{\pi \hslash }{)}^{\frac{1}{4}}\frac{1}{\sqrt{2^{n}n!}}{H}_n\right(\sqrt{\frac{m\omega }{\hslash }}x)e^{-\frac{m\omega }{2\hslash }{x}^2}$,

missä siis $n=1,2,3\dots$ kertoo, monesko energiataso on kyseessä. Ratkaisut ovat muodoltaan Hermiten funktioita.

Hiukkasen ominaisenergia saa kvantittuneet arvot

$E_n=(n+\frac{1}{2})\hslash \omega$.

Energian kvantittuminen tarkoittaa, että energia voi saada vain tiettyjä diskreettejä arvoja. Esimerkiksi perustilallaan (n=0) ominaisenergia saa arvon $E=\frac{1}{2}\hslash \omega$.