Martingaalistrategia

Malline:Lähteetön Martingaalistrategia (Malline:K-en) on ruletin strategia, jossa pelataan 1:1 palauttavia vetoja (punainen/musta, parillinen/pariton ja 1-18/19-36) ja jossa jokaisen häviön jälkeen panos tuplataan. Strategia on usein käytetty kasinoilla. Strategialla päästään melkein varmasti eli todennäköisyydellä 1 voitolle, jos ajalle, rahalle ja yksittäisen kierroksen panokselle ei ole ylärajaa. Käytännössä peliin voi panostaa vain rajallisen määrän rahaa (ja aikaa), jolloin martingaali on odotusarvoisesti tappiollinen, kuten mikä tahansa muukin järjestelmä.

Periaate

Aina hävityn pelikierroksen jälkeen asetetaan aikaisempaan panokseen verrattuna kaksinkertainen panos ja tätä jatketaan seuraavaan voittoon asti.

Esimerkki:

• Panostetaan 10 € punaiselle. Tulos on musta. Panos menetetään.
• Panostetaan 20 € punaiselle. Tulos on musta. Panos menetetään.
• Panostetaan 40 € punaiselle. Tulos on punainen. Voitto 40 € + panos 40 € takaisin.
  • Tulos: Panostettu yhteensä 70 €. Takaisin 80 €. Voitolle jääty 10 €, eli alkuperäisen panoksen verran.

Voiton jälkeen pelaamisen voi aloittaa uudestaan alusta, esimerkissä 10 € panoksella.

Matemaattinen analyysi

Jos jollakin kierroksella tulee voitto, jäädään pelissä aina alkupanoksen (yllä olevassa esimerkissä 10 €) verran voitolle. Tämä voidaan osoittaa seuraavasti: Oletetaan, että voittoa edeltää $n$ tappiollista kierrosta. Näiden tappioiden summa on $1+2+\cdots +2^{n-1}=2^n-1$. Seuraavan voitollisen kierroksen panos on $2^n$, jolloin yhteensä voittoa tulee $2^n-(2^n-1)=1$.

Olkoon yksittäisen kierroksen häviön todennäköisyys $\frac{1}{2}\le p<1$. Tällöin pelattaessa enintään $n$ kierrosta hävitään kaikki kierrokset todennäköisyydellä $p^n$, ja tällöin tappio on $1+2+\cdots +2^{n-1}=2^n-1$. Todennäköisyydellä $1-p^n$ jollain kierroksella tulee voitto, jolloin ylläolevan perusteella voiton määrä on 1 (kun pelaamista ei voiton jälkeen enää jatketa). Voiton odotusarvo on siis $-p^n(2^n-1)+(1-p^n)*1=1-(2p{)}^n\le 0$.

Odotusarvon voidaan myös helposti osoittaa olevan millä tahansa strategialla enintään nolla havaitsemalla pelaajan kassan olevan ylimartingaali.

Jos taas kierrosten määrälle ei ole mitään ylärajaa, tilanne onkin erilainen. Pelaaja jää yhä alkupanoksen verran voitolle, ellei hän häviä kaikkia kierroksia. Mutta nyt kaikkien kierrosten häviämisen todennäköisyys onkin $0$, sillä $n$ peräkkäisen tappion todennäköisyys on $p^n$, mikä lähestyy nollaa, kunhan $p\ne 1$. Koska pelaaja saa todennäköisyydellä 1 voiton, jonka suuruus on 10 (€), on voiton odotusarvo siis 10 (€).

Siis tässä tapauksessa mahdollisten kierrosten määrän lähestyessä ääretöntä odotusarvon raja-arvo ei ole sama kuin raja-arvon odotusarvo. Näin voi käydä, kun monotonisen konvergenssin lauseen ja Lebesguen dominoidun konvergenssin lauseen oletukset eivät ole voimassa.

Käytännössä pelattavien kierrosten määrä ei voi olla rajoittamaton, sillä se vaatisi rajattomasti aikaa ja rahaa. Toisaalta myös pelijärjestäjillä on ruletissa maksimipanokset, jotka estävät strategian toimivuuden.

Katso myös

• Martingaali (todennäköisyysteoria)