Vaihdannaisuus

Kommutatiivisuus eli vaihdannaisuus on algebrallinen käsite. Se tarkoittaa sitä, että tietyn operaation lopputulos on sama, olivatpa operandit kummassa järjestyksessä tahansa.

Kommutatiivisuus voidaan määritellä seuraavasti: Olkoon $X$ joukko ja $a$ ja $b$ sen alkioita. Operaatio $\otimes :X\times X\mapsto X$ on kommutatiivinen, jos kaikilla $a$ ja $b$ toteutuu $a\otimes b=b\otimes a$.

Esimerkkejä kommutatiivisista operaatioista

Luonnollisten lukujen yhteen- ja kertolasku ovat kommutatiivisia operaatioita, sillä a + b = b + a ja c * d = d * c kaikilla luonnollisilla luvuilla a, b, c ja d.

Määritellään vektorien pistetulo: Olkoot $𝐱=x_1+x_2+\dots +x_n$ ja $𝐲=y_1+y_2+\dots +y_n$ reaalisia tai kompleksisia vektoreita. Vektorien x ja y pistetulo määritellään seuraavasti:

$𝐱\cdot 𝐲=x_1{y}_1+x_2{y}_2+\dots +x_n{y}_n$

Pistetulon määritelmästä ja kertolaskun kommutatiivisuudesta seuraa että pistetulo on kommutatiivinen:

$𝐱\cdot 𝐲=x_1{y}_1+x_2{y}_2+\dots +x_n{y}_n=y_1{x}_1+y_2{x}_2+\dots +y_n{x}_n=𝐲\cdot 𝐱$

Esimerkkejä ei-kommutatiivisista operaatioista

Vähennyslasku ja jakolasku eivät ole kommutatiivisia operaatioita, sillä 4−3 ≠ 3−4, ja 8:2 ≠ 2:8.

Katso myös

• liitännäisyys
• osittelulaki
• antikommutatiivisuus

Kirjallisuutta

• Malline:Kirjaviite
• Malline:Kirjaviite