Korteweg-de Vries -yhtälö

KdV-yhtälöä numeerisesti mallinnettuna. Kuvassa nähdään kahden aallon törmäys ja siinä tapahtuva vaihesiirtymä. X-akselina on aika ja y-akselina paikka. Värillä ilmaistaan aallon korkeutta.

Korteweg-de Vries -yhtälö (tai lyhyemmin KdV-yhtälö) on epälineaarinen osittaisdifferentiaaliyhtälö, jolla kuvataan matalassa vedessä eteneviä aaltoja. KdV-yhtälön merkitys solitoniteoriassa on suuri, sillä sen ratkaisuna saadaan malliesimerkki solitoniaallosta. Yhtälö on saanut nimensä sitä tutkineiden Diederik Kortewegin ja Gustav de Vries'n mukaan .

Määritelmä

KdV-yhtälö on epälineaarinen osittaisdifferentiaaliyhtälö funktiolle φ kahdessa ulottuvuudessa, paikassa x ja ajassa t:

${\partial }_t\varphi +\underset{x}{\overset{3}{\partial }}\varphi +6\varphi {\partial }_x\varphi =0,$

jossa ∂_x merkitsee osittaisderivaattaa x:n ja ∂_t t:n suhteen.

Solitoniratkaisut

Osa yhtälön merkittävyyttä johtuu siitä, että sille on mahdollista löytää analyyttinen ratkaisu. Tämä voidaan ratkaista muun muassa olettamalla solitoniaallon etenevän nopeudella v ja sen huipun sijaitsevan ajanhetkellä t = 0 kohdassa x. Otetaan käyttöön uusi muuttuja z = x − vt ja funktio f(z) = φ(x, t). Nyt saadaan yhtälöksi tavallinen differentiaaliyhtälö

$f^{‴}+6f{f}^{\prime }-v{f}^{\prime }=0,$

joka voidaan integroida z:n suhteen ja saadaan

$f^{″}+3f^2-vf+C=0.$

Tässä muuttuja C on integroimisvakio. Halutaan kuitenkin ratkaisun f(z):n arvon olevan nolla kaukana aallon huipusta. Toisin sanoen siis f(z) lähestyy 0 kun z→±∞. Tästä seuraa, että vakio C = 0. Yhtälö täytyy kertoa vielä f':lla ja integroida uudestaan ennen kuin ratkaisu saadaan ulos.

Ratkaisuksi näin saadaan

$\varphi (x,t)=\frac{1}{2}v\frac{1}{{\cosh }^2[\frac{\sqrt{v}}{2}(x-vt-x_0)]},$

jossa x₀ merkitsee aallon huipun paikkaa ajanhetkellä t = 0. Yhtälö mallintaa oikealle liikkuvaa solitonia.

Säilyvät suureet

KdV-yhtälölle saadaan ratkaistua äärettömän monta säilyvää suuretta . Ne voidaan laskea kaavalla

$I_n=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{P}_{2n}(\varphi ,{\partial }_x\varphi ,\underset{xx}{\overset{2}{\partial }}\varphi ,\dots )\text{d}x,\mathrm{\forall }n\ge 0,$

jossa P_i lasketaan kaavalla

$P_0=\varphi$

$P_{n+1}=-{\partial }_x{P}_n+\sum _{k=0}^{n-1}{P}_k{P}_{k-n-1},\mathrm{\forall }n\ge 1.$

Tästä saadaan muun muassa suureet:

• liikemäärä $I_0=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\varphi (x,t)\text{d}x$
• energia $I_1=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\varphi (x,t{)}^2\text{d}x$
• $I_2=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}2\varphi (x,t{)}^3-({\partial }_x\varphi (x,t){)}^2\text{d}x$

Historia

KdV-yhtälön ja solitonien historia alkaa 1834, kun John Scott Russell havaitsi kapeassa tasasyvässä kanavassa aallon etenevän muuttamatta muotoaan ja hajoamatta. Ilmiötä tutkivat Lord Rayleigh ja Joseph Boussinesq 1870-luvulla ja lopulta Korteweg and De Vries vuonna 1895. Tästä seuraava merkittävä tulos saatiin 1965 kun Zabusky ja Kruskal mallinsivat KdV-yhtälöä numeerisesti ja huomasivat useamman aallon törmäyksissä aaltojen säilyttävän muotonsa ja nopeutensa. Tämän jälkeen on löydetty analyyttisiä ratkaisuja useampaa kuin yhtä aaltoa mallintamaan.