Affiinimuunnos

Malline:Yhdistettävä Lineaarialgebrassa affiinimuunnos kuvaa lähdevektoriavaruuden kohdevektoriavaruuteen. Affiinimuunnos on määritelty

$f:{ℝ}^N\to {ℝ}^N,𝐲=𝐀𝐱+𝐛$,

missä $𝐀$ on lineaarikuvaus, $x$ kuvattava vektori ja $𝐛$ siirtymä.

Yleisesti ottaen matriisi $𝐀$ määrää kierron, skaalauksen ja peilauksen se voidaan esittää muodossa:

$𝐀={𝐀}_{scale}{𝐀}_{rot}{𝐀}_{mirror}$,

missä ${𝐀}_{scale}$ on skaalausmatriisi, ${𝐀}_{rot}$ on kiertomatriisi ja ${𝐀}_{mirror}$ on peilausmatriisi. Skaalausmatriisi on lävistäjämatriisi.

Affiinimuunnoksen ominaisuuksia:

1. samalla suoralla olevat pisteet kuvautuvat samalle suoralle
2. samalla suoralla olevien pisteiden suhteelliset etäisyydet säilyvät kuvauksessa

Esimerkki affiinimuunnoksesta

Kierretään pistettä $(x_0,y_0)$ $\theta$ astetta kaksiulotteisen koordinaatiston origon ympäri. Esitetään piste vektorina $𝐱=\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right]$. Koska muunnos koostuu vain kierto-operaatiosta, muunnosmatriisi ja siirtovektori ovat

$𝐀={𝐀}_{rot}$

$𝐛=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$,

koska ${𝐀}_{scale}=𝐈$ ja ${𝐀}_{mirror}=𝐈$. Näin ollen muunnokseksi saadaan

$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$

ja kierretyn pisteen koordinaateiksi saadaan matriisin kertolaskusääntöä käyttäen

$\{\begin{array}{c}{x}_1=x_0\cos \theta +y_0\sin \theta \\ y_1=-x_0\sin \theta +y_0\cos \theta \end{array}$

Kirjallisuutta

• Malline:Kirjaviite
• Malline:Kirjaviite