Massadistribuutio

Malline:LähteetönMassadistribuutio on mittateorian käsite, jonka avulla voidaan kuvata "massan" jakautumista joukoissa.

Määritelmä

Olkoon $(X,𝒜,\mu )$ mitta-avaruus varustettuna topologialla ja $F\subset X$. Nyt mitta $\mu$ on massadistribuutio joukossa F, jos

1. Perusjoukko X on äärellis- ja positiivimittainen, eli $0<\mu (X)<\mathrm{\infty },$
2. Mitan $\mu$ kantaja sisältyy joukkoon F, eli $\mathrm{spt}\mu \subset F.$

Tässä ajatellaan, että valitsemme äärellisen määrän massaa ja levitämme sen joukkoon F, jolloin saamme massan jakauman joukossa F. Triviaalisti jokainen mitta, joka toteuttaa ehdon 1. on aina massadistribuutio koko perusjoukossa X sillä kantaja on suoraan määritelmän nojalla aina X:n osajoukko.

Esimerkkejä

• Olkoon $L=\{(x,0):x\in [0,1]\}$ väli [0,1] tasossa. Määritellään kuvaus $\mu :\mathrm{Leb}{ℝ}^2\to [0,+\mathrm{\infty }]$ kaavalla

$\mu (A)=m_1(A\cap L),$

missä $m_1$ on 1-ulotteinen Lebesguen mitta ja joukko $A\cap L$ tulkitaan tason sijasta lukusuoran osajoukoksi. Tällöin Lebesguen mitan ominaisuuksista seuraa, että $\mu$ on mitta. Lisäksi koska $\mu ({ℝ}^2)=m_1([0,1])=1$ ja kantaja $\mathrm{spt}\mu =L$, niin $\mu$ on massadistribuutio joukossa $L$.

Energia

Avaruudessa ${ℝ}^n$ massadistribuution liittyy oleellisesti potentiaaliteoreettiset käsitteet s-potentiaali ja s-energia. Niiden avulla voidaan mittateoriassa muun muassa arvioida fraktaalien Hausdorffin dimensiota.

Määritellään, että jos $s>0$, $x\in {ℝ}^n$ ja $\mu$ massadistribuutio ${ℝ}^n$:ssä, niin massadistribuution $\mu$ s-potentiaali pisteessä $x$ on luku

${\varphi }_s(x)=\underset{{ℝ}^n}{\int }\frac{d\mu (y)}{||x-y|{|}^s},$

missä integraali on massadistribuution $\mu$ määräämä mittaintegraali. Tapauksessa $n=3$ ja $s=1$ tämä kaava antaa tavallisen Newtonin gravitaatiopotentiaalin.

Vastaavasti massadistribuution $\mu$ s-energia on luku

$I_s(\mu )=\underset{{ℝ}^n}{\int }{\varphi }_s(x)d\mu (x),$

eli toisin sanoen

$I_s(\mu )=\underset{{ℝ}^n{ℝ}^n}{\iint }\frac{d\mu (x)d\mu (y)}{||x-y|{|}^s}.$

Esimerkiksi voidaan osoittaa, että jos $F\subset {ℝ}^n$ ja on olemassa massadistribuutio $\mu$ joukossa F siten, että $I_s(\mu )<\mathrm{\infty }$, niin Hausdorffin mitta ${\mathscr{H}}^s(F)=\mathrm{\infty }$ ja dimensio ${\dim }_{\mathscr{H}}F\ge s.$