Ehdollinen todennäköisyys

Ehdollinen todennäköisyys on todennäköisyyslaskennassa peruskäsite, jossa tarkastellaan kahta saman satunnaisilmiön tapahtumia. Jos tapahtumat riippuvat toistaan, muuttuvat molemmat todennäköisyydet, kun molemmat tapahtumat tapahtuvat. Jos tapahtumat ovat riippumattomat, antaa tapahtuman ehdollinen todennäköisyys saman arvon kuin tapahtuman todennäköisyys.

Ehdollinen todennäköisyys voidaan perustella tilastollisella päättelyllä. Tarkastellaan koulun välitunnilla oppilaita, jotka ovat tyttöjä ja poikia. Laskettaessa saksankielen aloittajien suhteellista osuutta, jotka ovat tyttöjä, tarkoitetaan saksan aloittaja ehdolla, että oppilas on tyttö. Silloin pojat karsitaan pois ja lasketaan saksan aloittajat tyttöjen parista. Osoittajaan kirjataan niiden lukumäärä, jotka lukevat saksaa ja ovat tyttöjä (saksa ja tyttö). Nimittäjään kirjataan tyttöjen lukumäärä. Lauseessa ilmaistu ehdolla merkitään pystyviivalla saksa | tyttö. Todennäköisyys lasketaan vastaavasti

$P(\text{saksa}|\text{tyttö})=\frac{P(\text{tyttö ja saksa})}{P(\text{tyttö})}.$

Ehdollisen todennäköisyyden määritelmä

Kun molemmat tapahtumat $A$ ja $B$ tapahtuvat, lasketaan todennäköisyys sille, että molemat tapahtuvat, käyttämällä todennäköisyyksien kertolaskusääntöä. Mikäli tapahtumat ovat riippumattomia, lasketaan todennäköisyys

$P(A\text{ ja }B)=P(A\cap B)=P(A)P(B)$

ja jos tapahtumat riippuvat toistaan, lasketaan se kahdella vaihtoehtoisella tavalla

$P(A\text{ ja }B)=P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)=P(A|B)\cdot P(B).$

Kahden ensimmäisen lausekkeen avulla voidaan määritellä ehdollinen todennäköisyys

$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.$

Ensimmäisestä ja kolmannesta lausekkeesta voidaan johtaa ehdollinen todennäköisyys vaihtoehtoisella tavalla

$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$

Mikäli ei tunneta $P(A\cap B),$ voidaan se määritellä

$P(A|B)=\frac{P(A)\cdot P(B|A)}{P(B)}.$

Edelliset määritelmät menettävät merkityksensä, mikäli jompikumpi $P(A)$ tai $P(B)$ on nolla.

Monta tapahtumaa

Kun tarkastellaan kolmea tapahtumaa, jotka riippuvat toisistaan, voidaan laskea todennäköisyys sille, että kaikki tapahtuvat

$P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B|A)\cdot P(C|A\cap B),$

mikäli molemmat ehdolliset todennäköisyydet ovat olemassa. Useammassa tapahtumassa ehdollisia todennäköisyyksiä tulee huomioida enemmän. Jos tapahtumat ovat $A_1,A_2,...,A_n$, saadaan

$P(A_1\cap A_2\cap ...\cap A_n)=P(A_1)\cdot P(A_2|A_1)\cdot \cdot \cdot P(A_n|A_1\cap ...\cap A_{n-1}).$

Katso myös

• Bayesin teoreema
• Bayesiläinen tilastotiede