Heikko suppeneminen

Malline:LähteetönHeikko suppeneminen eli heikko konvergenssi on matematiikassa tiettyjen funktioiden jonojen ominaisuus.

Jos $L^p$-avaruuden duaalia merkitään $L^q$:lla, voidaan $L^p$:ssä määritellä heikko suppeneminen seuraavasti: jono funktioita $u_i\in L^p,1<p<\mathrm{\infty }$ suppenee heikosti kohti funktiota $u\in L^p$, jos jokaisella $g\in L^q$ pätee

$\underset{X}{\int }g{u}_{i}d\mu \to \underset{X}{\int }gud\mu$.

Tällöin $u$ on yksikäsitteisesti määrätty ja

$||u|{|}_p\le \underset{i\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}||u_i|{|}_p.$

Heikosta konvergenssista ei seuraa $||u-u_i|{|}_p\to 0$, tai että $u_i\to u$ melkein kaikkialla. Kuitenkin jos $(u_i)$ on rajoitettu jono $L^p$:ssä, $1<p<\mathrm{\infty }$ jolle $||u_i|{|}_p\le M$, on olemassa osajono $(u_{i_j})$ ja $u\in L^p$ s.e. $u_i\to u$ heikosti $L^p$:ssä.