Äärellinen ryhmä
Ryhmäteoriassa äärellinen ryhmä on ryhmä, jonka alkioiden lukumäärä on äärellinen. Äärellisten ryhmien monet syvälliset teoriat on kehitetty 1900-luvulla. Näistä esimerkkeinä on lokaali teoria, ratkeavien ryhmien teoria ja nilpotentti ryhmä. Vaikka ryhmät ovat äärellisiä, on äärellisten ryhmien teorian tulokset useimmiten liian suuria erikoistapaus kerrallaan tarkastettavaksi.
Vähemmän hämmästyttävä, mutta silti kiinnostava tutkimuskohde on yleiset lineaariset ryhmät äärellisissä kunnissa. Ryhmäteoreetikko J. L. Alperin on kirjoittanut, että "tyypillinen esimerkki äärellisestä ryhmästä on GL(n,q), n alkion yleinen lineaarinen ryhmä q-alkioisen kunnan suhteen. Opiskelijaa, jolle on asiaa opetettu jonkun toisen esimerkin kautta, on johdettu harhaan."[1]
Jokainen äärellinen ryhmä, jonka kertaluku on alkuluku, on syklinen. Yleisemmin on voimassa, että ainoa kertalukua n oleva ryhmä on syklinen, jos ja vain jos .[2]